Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $(𝐚,𝐛,𝐜)$ векторов $𝐚,𝐛,𝐜$ — скалярное произведение вектора $𝐚$ на векторное произведение векторов $𝐛$ и $𝐜$:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=𝐚\cdot (𝐛\times 𝐜)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $𝐚,𝐛,𝐜$.

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=(𝐛,𝐜,𝐚)=(𝐜,𝐚,𝐛)=-(𝐛,𝐚,𝐜)=-(𝐜,𝐛,𝐚)=-(𝐚,𝐜,𝐛);$

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

$⟨𝐚,[𝐛,𝐜]⟩=⟨[𝐚,𝐛],𝐜⟩$

• Смешанное произведение $(𝐚,𝐛,𝐜)$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $𝐚,𝐛$ и $𝐜$:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$

• Смешанное произведение $(𝐚,𝐛,𝐜)$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $𝐚,𝐛$ и $𝐜$, взятому со знаком «минус»:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=-\left|\begin{array}{ccc}{a}_x& a_y& a_z\\ b_x& b_y& b_z\\ c_x& c_y& c_z\end{array}\right|.$

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение $(𝐚,𝐛,𝐜)$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами $𝐚,𝐛$ и $𝐜$; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому имиШаблон:Sfn.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

$(𝐚,𝐛,𝐜)=\sum _{i,j,k}{\epsilon }_{ijk}{a}^i{b}^j{c}^k$

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В $n$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n\times n$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $n$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

$(𝐚,𝐛,𝐜,\dots )=\sum _{i,j,k,\dots }{\epsilon }_{ijk\dots }{a}^i{b}^j{c}^k\dots$

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

Источники

• Шаблон:H

Ссылки

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач