Теорема Бёрча

Теорема Бёрча – это теорема, названная в честь британского математика Брайана Джона Бёрча. Теорема является утверждением о существовании и представимости нулей форм нечётной степени.

Утверждение теоремы Бёрча

Пусть K алгебраическое числовое поле, k, l и n натуральные числа, $r_{1}, \dots, r_{k}$ нечётные натуральные числа, а $f_{1}, \dots, f_{k}$ однородные многочлены с коэффициентами из K степени $r_{1}, \dots, r_{k}$ соответственно от n переменных. Тогда существует число $ψ (r_{1}, \dots, r_{k}, l, K)$ , такое что при

n ⩾ ψ (r_{1}, \dots, r_{k}, l, K)

существует l-мерное векторное подпространство V в Kⁿ, такое что

f_{1} (x) = \dots = f_{k} (x) = 0 для всех x \in V .

Примечания

Доказательство теоремы осуществляется методом математической индукции по максимальной степени форм $f_{1}, \dots, f_{k}$ . Существенным для доказательства является специальный случай, который может быть доказан путём применения Шаблон:Нп5, теоремы, утверждающей, что если n достаточно велико и r нечётно, то уравнение

c_{1} x_{1}^{r} + \dots + c_{n} x_{n}^{r} = 0, c_{i} \in ℤ, i = 1, \dots, n

имеет решение в целых числах $x_{1}, \dots, x_{n}$ , в котором не все переменные равны 0.

Условие нечётности r является необходимым, поскольку формы чётного порядка, такие как положительно определённые квадратичные формы, могут иметь 0 только в начале координат.

Шаблон:Примечания