Теорема Колмогорова — Арнольда

Теорема Колмогорова — Арнольда — теорема из анализа действительного переменного и теории приближений, гласит, что каждая многомерная непрерывная функция может быть представлена в виде суперпозиции непрерывных функций одной переменной. Она решает в более общем виде тринадцатую проблему Гильберта.

Трудами Андрея Колмогорова и Владимира Арнольда установлено, что если f — это многомерная непрерывная функция, то f можно записать в виде конечной композиции непрерывных функций одной переменной и бинарной операции сложения. А именно,

$f(𝐱)=f(x_1,\dots ,x_n)=\sum _{q=0}^{2n}{\mathrm{\Phi }}_q(\sum _{p=1}^n{\varphi }_{q,p}(x_p)).$

Построение доказательства, и даже более конкретные конструкции, можно найти в работе Брауна и Грибеля.

В каком-то смысле, Колмогоров и Арнольд показали, что единственная истинная функция многих переменных — это сложение, поскольку все другие функции можно записать с использованием функций одной переменной и сложения.

История

Теорема Колмогорова — Арнольда тесно связана с 13-й проблемой Гильберта. В его парижской лекции на Международном конгрессе математиков в 1900 году Давид Гильберт сформулировал 23 проблемы, которые, по его мнению, были важны для дальнейшего развития математики. В 13-й из этих проблем задача состояла в решении общих уравнений высших степеней. Известно, что для алгебраических уравнений степени 4 корни можно вычислить по формулам, которые содержат только радикалы и арифметические операции (то есть такие уравнения разрешимы в радикалах). Для более высоких порядков теория Галуа показывает, что решения алгебраических уравнений нельзя выразить в терминах базовых алгебраических операций. Из преобразований Чирнгауза следует, что общее алгебраическое уравнение

$x^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_0=0$

можно перевести в форму $y^n+b_{n-4}{y}^{n-4}+\dots +b_{1}y+1=0$. Преобразование Чирнгауза определяется по формуле, содержащей только радикалы и арифметические операции и преобразования. Таким образом, решение алгебраического уравнения степени $n$ можно представить в виде суперпозиции функций двух переменных, если $n<7$, и как суперпозиции функций $n-4$ переменных, если $n⩾7$. Для $n=7$ решение представляет собой суперпозицию арифметических операций, радикалы, и решения уравнения $y^7+b_3{y}^3+b_2{y}^2+b_{1}y+1=0$.

Дальнейшее упрощение алгебраических преобразований, кажется, невозможно, что вело к гипотезе Гильберта, о том что «решение общего уравнения степени 7 нельзя представить в виде суперпозиции непрерывных функций двух переменных». Это объясняет отношение тринадцатой проблемы Гильберта к представлению многомерных функций в виде суперпозиции функций низкой размерности. В этом контексте, это стимулировало многочисленные исследования в области теории функций и других связанных проблем разными авторами.

Варианты теоремы Колмогорова — Арнольда

Вариант теоремы Колмогорова, который уменьшает количество внешних функции ${\mathrm{\Phi }}_q$, принадлежит Джорджу Лоренцу. Он показал в 1962 году, что внешние функции ${\mathrm{\Phi }}_q$ можно заменить на одну функцию $\mathrm{\Phi }$. Точнее, Лоренц доказал существование функций ${\varphi }_{q,p}$, $q=0,1,\dots ,2n$, $p=1,\dots ,n,$ таких, что

$f(𝐱)=\sum _{q=0}^{2n}\mathrm{\Phi }(\sum _{p=1}^n{\varphi }_{q,p}(x_p)).$

Шпрехер заменил внутренние функции ${\varphi }_{q,p}$ на одну внутреннюю функцию с соответствующим сдвигом в своих аргументах. Он доказал, что существуют действительные значения $\eta ,{\lambda }_1,\dots ,{\lambda }_n$, непрерывная функция $\mathrm{\Phi }:ℝ\to ℝ$ и действительная возрастающая непрерывная функция $\varphi :[0,2]\to ℝ$ с $\varphi \in \mathrm{Lip}(\ln 2/\ln (2N+2))$ для $N⩾n⩾2$ такие, что

$f(𝐱)=\sum _{q=0}^{2n}\mathrm{\Phi }(\sum _{p=1}^n{\lambda }_p\varphi (x_p+\eta q)+q).$

Филлип А. Остранд обобщил теорему Колмогорова на компактные метрические пространства. Для $p=1,\dots ,m$ пусть $X_p$ — компактные метрические пространства конечной размерности $n_p$, и пусть $n=\sum _{p=1}^m{n}_p$. Тогда существует непрерывная функция ${\varphi }_{q,p}:X_p\to [0,1],q=0,\dots ,2n,p=1,\dots ,m$ и непрерывные функции $G_q:[0,1]\to ℝ,q=0,\dots ,2n$ такие, что любая непрерывная функция $f:X_1\times \dots \times X_m\to ℝ$ представима в виде

$f(x_1,\dots ,x_m)=\sum _{q=0}^{2n}{G}_q(\sum _{p=1}^m{\varphi }_{q,p}(x_p)).$

Оригинальные ссылки

• Андрей Колмогоров, «О представлении непрерывных функций нескольких переменных суперпозициями непрерывных функций меньшего числа переменных», Доклады АН СССР, 108 (1956), с. 179—182; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 17 (1961), p. 369—373.
• Владимир Арнольд, «О функции трех переменных», Доклады АН СССР, 114 (1957), p. 679—681; английский перевод: Amer. Math. Soc. Transl., 28 (1963), p. 51—54.

Дальнейшее чтение

• S. Ya. Khavinson, Best Approximation by Linear Superpositions (Approximate Nomography), AMS Translations of Mathematical Monographs (1997)