Теорема Сохоцкого — Племеля

Теорема Сохоцкого — Племеля (польская орфография Sochocki) — теорема в комплексном анализе, которая помогает в оценке определённых интегралов. Версия для вещественной прямой (см. ниже) часто используется в физике, хотя и редко называется по имени. Теорема названа в честь Юлиана Сохоцкого, который доказал её в 1868 году, и Йосипа Племеля, который заново открыл её в качестве основного ингредиента своего решения задачи Римана — Гильберта в 1908 году.

Формулировка теоремы

Пусть C гладкая замкнутая простая кривая на плоскости, и φ — аналитическая функция на C. Тогда интеграл типа Коши

$\frac{1}{2\pi i}{\int }_C\frac{\phi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z},$

определяет две аналитические функции от z, φ_i внутри C и φ_e снаружи. Формулы Сохоцкого — Племеля соотносят граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение по Коши $𝒫$ интеграла:

${\varphi }_i(z)=\frac{1}{2\pi i}𝒫{\int }_C\frac{\phi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}+\frac{1}{2}\phi (z),$

${\varphi }_e(z)=\frac{1}{2\pi i}𝒫{\int }_C\frac{\phi (\zeta )d\zeta }{\zeta -z}-\frac{1}{2}\phi (z).$

Последующие обобщения устраняют требования гладкости на кривой C и функции φ.

Версия для вещественной прямой

Особенно важна версия этой теоремы для интегралов на вещественной прямой.

Пусть ƒ — комплекснозначная функция, которая определена и непрерывна на вещественной оси, и пусть a и b — вещественные числа такие, что a < 0 < b. Тогда

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^b\frac{f(x)}{x\pm i\epsilon }dx=\mp i\pi f(0)+𝒫{\int }_a^b\frac{f(x)}{x}dx,$

где $𝒫$ обозначает главное значение Коши.

Доказательство для вещественной прямой

Простое доказательство состоит в следующем.

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^b\frac{f(x)}{x\pm i\epsilon }dx=\mp i\pi \underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^b\frac{\epsilon }{\pi (x^2+{\epsilon }^2)}f(x)dx+\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_a^b\frac{x^2}{x^2+{\epsilon }^2}\frac{f(x)}{x}dx.$

Для первого слагаемого, отметим, что $\frac{\epsilon }{\pi (x^2+{\epsilon }^2)}$ — это зарождающаяся дельта-функция, и поэтому приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первое слагаемое равно $\mp i\pi f(0)$.

Для второго слагаемого, мы отмечаем, что фактор $\frac{x^2}{x^2+{\epsilon }^2}$ стремится к 1 для |х| ≫ ε, и стремится к 0 при |х| ≪ ε, а именно симметричная функция относительно 0. Поэтому, в пределе, получается интеграл в смысле главного значения по Коши.

Приложения к физике

В квантовой механике и квантовой теории поля, часто приходится оценивать интегралы вида

${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dE{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dtf(E)\exp (-iEt),$

где Е — это некоторая энергия и t — время. В данной форме выражение не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно изменяют путём добавления отрицательного вещественного коэффициента к t в экспоненте, а затем устремляют этот коэффициент к нулю:

$\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dE{\int }_0^{\mathrm{\infty }}dtf(E)\exp (-iEt-\epsilon t)$

$=-i\underset{\epsilon \to 0^{+}}{lim}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(E)}{E-i\epsilon }dE=\pi f(0)-i𝒫{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{f(E)}{E}dE,$

где теорема Сохоцкого используется на последнем шаге.

См. также

• Шаблон:Нп5
• Соотношения Крамерса — Кронига
• Преобразования Гильберта

Литература

• Шаблон:Книга Chapter 3.1.
• Шаблон:Книга Appendix A, equation (A.19).
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга
• Blanchard, Bruening: Mathematical Methods in Physics (Birkhauser 2003), Example 3.3.1 4
• Шаблон:Книга