Устойчивое распределение

Усто́йчивое распределе́ние в теории вероятностей — это такое распределение, которое может быть получено как предел по распределению сумм независимых случайных величин.

Определение

Функция распределения $F(x)$ называется устойчивой, если для любых действительных чисел $a_1>0,a_2>0,b_1,b_2$ найдутся числа $a>0,b$ такие, что имеет место равенство: $F(a_{1}x+b_1)\ast F(a_{2}x+b_2)=F(ax+b)$, где * - операция свёртки. Если $\varphi (t)$ является характеристической функцией устойчивого распределения, то для любых $a_1>0,a_2>0$ найдутся числа $a>0,b$ такие, что $\varphi (\frac{t}{a_1})\varphi (\frac{t}{a_2})=\varphi (\frac{t}{a})e^{-itb}$.Шаблон:Sfn

Замечания

• Если $F_X$ — функция устойчивого распределения, то $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{a}_n>0,b_n\in ℝ$, такие что

$F_X\left(\frac{x-b_n}{a_n}\right)=\underset{n}{\underbrace{F_X(x)\ast \cdots \ast F_X(x)}},\mathrm{\forall }x\in ℝ$,

где $\ast$ обозначает свёртку.

• Если ${\varphi }_X$ — характеристическая функция устойчивого распределения, то $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N},\mathrm{\exists }{a}_n,b_n\in ℝ$, такие что

${\varphi }_X^n(t)={\varphi }_X(a_{n}t)e^{i{b}_{n}t}$.

Свойства устойчивых распределений

• Пусть ${\xi }_1,{\xi }_2,\mathrm{...},{\xi }_n$ — независимые одинаково распределённые случайные величины и ${\eta }_n=\frac{1}{{\beta }_n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k-{\alpha }_n$, где ${\beta }_n>0,{\alpha }_n$ — некоторые нормирующие и центрирующие константы. Если $F_n(x)$ — функция распределения случайных величин ${\eta }_n$, то предельными распределениями для $F_n(x)$ при $n\to \mathrm{\infty }$ могут быть лишь устойчивые распределения. Верно обратное: для любого устойчивого распределения $F(x)$ существует такая последовательность случайных величин ${\eta }_n=\frac{1}{{\beta }_n}\sum _{k=1}^n{\xi }_k-{\alpha }_n$, что $F_n(x)$ сходится к $F(x)$ при $n\to \mathrm{\infty }$.Шаблон:Sfn

• (Представление Леви — Хинчина) Логарифм характеристической функции случайной величины с устойчивым распределением имеет вид:

$\ln \varphi (t)=\{\begin{array}{cc}it\beta -d|t{|}^{\alpha }(1+i\theta \frac{t}{|t|}G(t,\alpha )),& t≠0,\\ 0,& t=0.\end{array}$

где $0<\alpha \le 2,\beta \in ℝ,d\ge 0,|\theta |\le 1,$ и

$G(t,\alpha )=\{\begin{array}{cc}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{2}\alpha ,& \alpha ≠1,\\ \frac{2}{\pi }\ln |t|,& \alpha =1.\end{array}$

См. также

• Бесконечно делимое распределение.

Литература

• Шаблон:Книга