Функции Ганкеля

Фу́нкции Ха́нкеля (Га́нкеля) (функции Бесселя третьего рода) — линейные комбинации функций Бесселя первого и второго рода, а следовательно, решения уравнения Бесселя. Названы в честь немецкого математика Германа Ханкеля.

H_{ν}^{(1)} (z) = J_{ν} (z) + i Y_{ν} (z)

— функция Ханкеля первого рода;

H_{ν}^{(2)} (z) = J_{ν} (z) - i Y_{ν} (z)

— функция Ханкеля второго рода.

Функции Ханкеля с индексом 0 являются фундаментальными решениями уравнения Гельмгольца.

Свойства

$H_{ν}^{(1)} (z) = \frac{J_{- ν} (z) - e^{- ν π i} J_{ν} (z)}{i \sin (ν π)}$

$H_{ν}^{(2)} (z) = \frac{J_{- ν} (z) - e^{ν π i} J_{ν} (z)}{- i \sin (ν π)}$

$W [H_{ν}^{(1)} (z), H_{ν}^{(2)} (z)] = - \frac{4 i}{π z}$

$H_{- ν}^{(1)} (z) = e^{ν π i} H_{ν}^{(1)} (z)$

$H_{- ν}^{(2)} (z) = e^{- ν π i} H_{ν}^{(2)} (z)$

$H_{- ν}^{(1)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{π z}} e^{\frac{i}{4} (4 z - 2 π ν - π)}$ , если $| z | \to \infty, - π < \arg z < 2 π$ ;

$H_{- ν}^{(2)} (z) \sim \sqrt{\frac{2}{π z}} e^{- \frac{i}{4} (4 z - 2 π ν - π)}$ , если $| z | \to \infty, - 2 π < \arg z < π$ .

Ватсон Г. Теория бесселевых функций. В 2 т. — М.: ИЛ, 1949.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. — М.: Физматгиз, 1966. — 296 с. — (Справочная математическая библиотека).