Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александрийского

Цепь Паппа Александри́йского — кольцо внутри двух касающихся кругов, заполненных попарно касающимися кругами меньших диаметров. Исследована Паппом Александрийским в III веке н. э.

Построение

Возьмём точки $A,B,C$ в таком порядке на одной прямой и построим окружности $C_U$ и $C_V$ с диаметрами $AB$ и $AC$ соответственно, центры которых обозначим $U$ и $V$. Фигура, ограниченная окружностями, схожа с арбелосом (но её граница состоит из двух окружностей вместо трёх дуг) и допускает цепь окружностей, так же как и в теореме Паппа Александрийского. При этом каждый круг из цепи касается окружности $C_U$ снаружи, окружности $C_V$ изнутри и двух соседних окружностей цепи.

Свойства

• Центры $P_n$ кругов цепи расположены на общем эллипсе, фокусами которого являются центры $U$ и $V$ окружностей объемлющей фигуры, поскольку сумма расстояний от центра n-го до точек $U$ и $V$ не зависит от n:

$\overline{{𝐏}_n𝐔}+\overline{{𝐏}_n𝐕}=(r_U+r_n)+(r_V-r_n)=r_U+r_V$

• Если $r=AC/AB$, то центр $P_n$ и радиус $r_n$ n-го круга цепи задаются формулами

$(x_n,y_n)=(\frac{r(1+r)}{2[n^2(1-r{)}^2+r]},\frac{nr(1-r)}{n^2(1-r{)}^2+r}),$

$r_n=\frac{(1-r)r}{2[n^2(1-r{)}^2+r]}$

См. также

• Арбелос
• Окружность Форда
• Поризм Понселе
• Поризм Штейнера
• Сетка Аполлония
• Цепь Понселе

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
  • Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Citeweb