Формула суммирования Абеля

Формула суммирования Абеля, введённая норвежским математиком Нильсом Хенриком Абелем, часто применяется в теории чисел для оценки сумм конечных и бесконечных рядов.

Формула

Пусть $a_n$ — последовательность действительных или комплексных чисел и $f(x)$ — непрерывно дифференцируемая на луче $[1,x)$ функция. Тогда

$\sum _{1\le n\le x}{a}_{n}f(n)=A(x)f(x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}A(u)f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$

где

$A(x):=\sum _{0<n\le x}{a}_n.$

Примеры

Постоянная Эйлера — Маскерони

Для $a_n=1$ и $f(x)=\frac{1}{x},$ легко видеть, что $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тогда

$\sum _{n=1}^x\frac{1}{n}=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^2}\mathrm{d}u=\frac{\lfloor x\rfloor }{x}+\mathrm{l}\mathrm{n}(x)-\underset{1}{\overset{x}{\int }}\frac{\{u\}}{u^2}\mathrm{d}u$

перенося в левую часть логарифм и преходя к пределу, получаем выражение для постоянной Эйлера — Маскерони:

• $\gamma =1-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^2}du$, где $\left\{t\right\}$ — дробная часть числа $t$.

Представление дзета-функции Римана

Для $a_n=1$ и $f(x)=\frac{1}{x^s},$ аналогично $A(x)=\lfloor x\rfloor ,$ тогда

$\sum _1^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^s}=s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}\mathrm{d}u=s(\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{u}{u^{1+s}}\mathrm{d}u-\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u)=1+\frac{1}{s-1}-s\underset{1}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{\{u\}}{u^{1+s}}\mathrm{d}u.$

Эту формулу можно использовать для определения дзета-функции в области $\mathrm{\Re }(s)>0,$ поскольку в этом случае интеграл сходится абсолютно. Кроме того, из неё следует, что $\zeta (s)$ имеет простой полюс с вычетом 1 в точке s = 1.