Ожерелье Антуана

Первая итерация

Вторая итерация

Ожерелье Антуана (антуановское множество) — пример подмножества евклидова пространства, гомеоморфного канторову множеству, но при этом имеющего неодносвязное дополнение.

Построен Луи Антуаном в 1921 году.

Построение

Ожерелье получается как пересечение убывающей последовательности компактных множеств:

$K_1\supset K_2\supset \dots$

такой, что каждое $K_n$ является объединением конечного числа непересекающихся полноториев.

Если максимальный диаметр полнотория в $K_n$ стремится к нулю при $n\to \mathrm{\infty }$, то пересечение:

$K=\bigcap _n{K}_n$

является компактным вполне несвязным множеством без изолированных точек и значит гомеоморфно канторову множеству.

С другой стороны, можно выбрать последовательность $K_n$ так, что дополнение к полученному $K$ неодносвязно, для этого пересечение $K_{n+1}$ с каждым полноторием в $K_n$ должно образовывать замкнутую цепь как на картинке.

См. также

• Дикая сфера
• Дикий узел
• Многообразие Уайтхеда