Функции Штумпфа

Функции Штумпфа c_k(x) были введены в небесную механику немецким астрономом Шаблон:Iw в его теории универсального решения для кеплеровского движения. Они описываются следующим разложением в ряд Тейлора:

$c_k(x)=\frac{1}{k!}-\frac{x}{(k+2)!}+\frac{x^2}{(k+4)!}-\cdots =\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^i{x}^i}{(k+2i)!}$

для $k=0,1,2,3,\dots$ Этот ряд абсолютно сходится для любых действительных x.

Близки тригонометрическим функциям. Сравнивая разложение в ряд Тейлора для c₀(x) и c₁(x) с разложением в ряд Тейлора для тригонометрических функций sin и cos, можно найти следующие соотношения:

• $c_0(x^2)=\cos (x)$
• $c_1(x^2)=\frac{\sin (x)}{x}=\mathrm{sinc}(x)$
• $c_2(x^2)=\frac{1-\cos (x)}{x^2}$
• $c_3(x^2)=\frac{x-\sin (x)}{x^3}$

Аналогично, для гиперболических функций sinh и cosh мы находим:

• $c_0(-x^2)=\cosh (x)$
• $c_1(-x^2)=\frac{\sinh (x)}{x}$

Для неотрицательных k, $c_k(0)=\frac{1}{k!}$.

Функции Штумпфа удовлетворяют следующему рекурсивному выражению:

$x{c}_{k+2}(x)=\frac{1}{k!}-c_k(x),\text{ для }k=0,1,2,\dots .$

Функции Штумпфа позволяют единообразно описать движение тела в центральном поле для любого значения «кеплеровской энергии» (суммы кинетической и потенциальной энергии), соответствующего движению по эллиптическим (кеплеровская энергия отрицательна), параболическим (кеплеровская энергия в точности равна нулю) и гиперболическим (кеплеровская энергия положительна) траекториям.