Комплексный тор

Комплексный тор, ассоциированный с решёткой с двумя периодами, ω₁ и ω₂. Соответствующие рёбра отождествляются.

Комплексный тор — это некоторый вид комплексного многообразия M, лежащее в основе гладкое многообразие которого является тором в обычном смысле (то есть прямым произведением некоторого числа N окружностей). Здесь N должно быть чётным числом 2n, где n — комплексная размерность многообразия M.

Все такие комплексные структуры могут быть получены следующим образом: возьмём решётку $\mathrm{\Lambda }$ в Cⁿ, которое рассматривается как вещественное векторное пространство. Тогда факторгруппа

${𝐂}^n/\mathrm{\Lambda }$

является компактным комплексным многообразием. Все комплексные торы, с точностью до изоморфизмов, получаются таким образом. При n = 1 это будет классическое построение эллиптических кривых на основе Шаблон:Не переведено 5. Для n > 1 Бернхард Риман нашёл необходимые и достаточные условия для комплексного тора, чтобы оно было абелевым многообразием. Если они многообразиями являются, их можно вложить в Шаблон:Не переведено 5 и они являются абелевыми многообразиями.

Актуальные проективные вложения сложны (см. Шаблон:Не переведено 5), когда n > 1 и, на самом деле, совпадают с теорией тета-функций от нескольких комплексных переменных (с фиксированным модулем). Нет ничего проще, чем описание кубической кривой для n = 1. Компьютерная алгебра может работать со случаями малого n сравнительно точно. По Шаблон:Не переведено 5 никакой тор, отличный от абелевого многообразия, может быть «помещено» в проективное пространство.

См. также

• Шаблон:Не переведено 5

Литература

• Шаблон:Книга