Формула Виета для приближения числа π

Шаблон:О Формула Виета для приближения числа π — бесконечное произведение вложенных радикалов:

$\frac{2}{\pi }=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$.

Первое известное явное представление числа $\pi$ с бесконечным числом операцийШаблон:Sfn; открыто французским математиком Франсуа Виетом в 1593 году.

Доказать равенство можно следующим образом: применив тождество $\sin 2\phi =2\sin \phi \cos \phi$ рекурсивно и перейдя к пределу:

$\sin \phi =2\sin \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{2}=$$4\sin \frac{\phi }{4}\cos \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{4}=⟨\cdots ⟩$$=2^n\sin \frac{\phi }{2^n}\cos \frac{\phi }{2}\cdot \dots \cdot \cos \frac{\phi }{2^n}$$\to \phi \cos \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{4}\cdot \dots$

Получается:

$\phi \cos \frac{\phi }{2}\cos \frac{\phi }{4}\cdots =\sin \phi .$

Остаётся подставить $\phi =\frac{\pi }{2}$ и воспользоваться формулой половинного угла:

$\cos \frac{\alpha }{2}=\frac{1}{2}\sqrt{2+2\cos \alpha }$.

Формула Виета может быть также представлена как предельное выражение:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\prod _{i=1}^n\frac{a_i}{2}=\frac{2}{\pi }$

$a_n=\sqrt{2+a_{n-1}}$

$a_1=\sqrt{2}$

Литература

• Шаблон:Книга