Квадратное пирамидальное число

Геометрическое представление квадратного пирамидального числа: Шаблон:Nowrap

Квадра́тное пирамида́льное число́ (часто называемое просто пирамида́льным число́м) — пространственное фигурное число, представляющее пирамиду, с квадратным основанием. Квадратные пирамидальные числа также выражают количество квадратов со сторонами, параллельными осям координат, в решётке из Шаблон:Times точек.

Начало последовательности:

Шаблон:Nums, … (Шаблон:OEIS).

Формула

Общая формула для $n$-го по порядку квадратного пирамидального числа:

$P_n=\sum _{k=1}^n{k}^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{2n^3+3n^2+n}{6}.$

Это частный случай Шаблон:Нп5, которую несложно доказать по индукции. Впервые равносильная формула была приведена в «Книге абака» Фибоначчи (XIII век).

В современной математике формализация фигурных чисел происходит с помощью многочленов Эрара. Многочлен Эрара L(P,t) многогранника P — многочлен, который подсчитывает количество целых точек в копии многогранника P, который увеличивается путём умножения всех его координат на число t. Многочлен Эрара пирамиды, основанием которой является квадрат со стороной 1 с целыми координатами, а вершина которой находится на высоте 1 над основанием, вычисляется по формуле:

(t + 1)(t + 2)(2t + 3)/6 = P_t + 1.

Производящая функция

Производящая функция для квадратных пирамидальных чисел имеет вид:

$\mathrm{𝟏}x+\mathrm{𝟓}{x}^2+\mathrm{𝟏}\mathrm{𝟒}{x}^3+\mathrm{𝟑}\mathrm{𝟎}{x}^4+\mathrm{𝟓}\mathrm{𝟓}{x}^5+\dots =\frac{x(x+1)}{(x-1{)}^4}.$

Связь с другими фигурными числами

Квадратные пирамидальные числа могут быть также выражены в виде суммы биномиальных коэффициентов:

$P_n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+2}{3})+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n+1}{3}).$

Биномиальные коэффициенты, возникающие в этом представленном выражении, — это тетраэдральные числа. Эта формула выражает квадратные пирамидальные числа в виде суммы двух чисел, так же как любое квадратное число является суммой двух последовательных треугольных чисел. В этой сумме, одно из двух тетраэдрических чисел считает количество шаров в сложенной пирамиде, которые расположены выше или по одну сторону от диагонали квадратного основания пирамиды; а второе — расположенных по другую сторону диагонали. Квадратные пирамидальные числа также связаны с тетраэдральными следующим образомШаблон:Sfn:

$P_n=\frac{1}{4}(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n+2}{3}).$

Сумма двух последовательных квадратных пирамидальных чисел является октаэдрическим числом.

Проблема нахождения квадратных пирамидальных чисел, являющихся одновременно квадратными числами, известна как задача об укладке пушечных ядер и была сформулирована Люка (1875).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Фигурные числа Шаблон:Wayback
• Шаблон:MathWorld
• Geometric Proof of the Tetrahedral Number Formula Шаблон:Wayback
• Шаблон:Книга