Алгебра Мальцева

Алгебра Мальцева — антикоммутативная неассоциативная алгебра, которая удовлетворяет следующему тождеству Мальцева:

$(xy)(xz)=((xy)z)x+((yz)x)x+((zx)x)y$.

Введены в 1955 году советским математиком Анатолием Ивановичем Мальцевым.

Тождество Мальцева можно переписать в виде:

$J(x,y,xz)=J(x,y,z)x$,

где $J(x,y,z)=(xy)z+(yz)x+(zx)y$ — якобиан элементов $x,y,z$. Поскольку в любой алгебре Ли якобиан равняется нулю, то алгебры Ли являются частным случаем алгебр Мальцева.

Существует следующая взаимосвязь между альтернативными алгебрами и алгеброй Мальцева: замена умножения в алгебре $M$ операцией коммутирования $[x,y]=xy-yx$ превращает её в алгебру $M^{(-)}$. При этом, если $M$ является альтернативной алгеброй, то $M^{(-)}$ будет алгеброй Мальцева. (Другими словами, для алгебр Мальцева существует аналог теоремы Пуанкаре — Биркгофа — Витта.)

Для алгебр Мальцева имеет место теорема, аналогичная классической теореме о связи алгебры Ли и группы Ли. Касательная алгебра локальной аналитической лупы Муфанг является алгеброй Мальцева. Верно также и обратное утверждение: любая конечномерная алгебра Мальцева $M$ над полным нормированным полем $F$ характеристики 0 является касательной алгеброй некоторой локальной аналитической лупы Муфанг.

Литература

• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга:Общая алгебра
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья