Родриг, Олинд

Шаблон:Учёный Бенжаме́н Оли́нд Родри́г  (Шаблон:Lang-fr;  Шаблон:ДР, Шаблон:МР — Шаблон:ДС, Шаблон:МС) — французский Шаблон:Математик, Шаблон:Механик и экономист, последователь социалиста-утописта А. Сен-СимонаШаблон:Sfn.

Биография

Родился 6 октября 1795 г. в Бордо, в зажиточной сефардской семье. Окончил Высшую нормальную школу в ПарижеШаблон:Sfn.

28 июня 1815 г. защитил в Парижском университете докторскую диссертацию по математике (важнейшие результаты её, включая формулу для многочленов Лежандра, известную ныне как формула Родрига, были опубликованы в статье «О притяжении сфероидов»Шаблон:Sfn в 1816 г.)Шаблон:Sfn. После защиты работал в Политехнической школе репетитором, затем (приобретя в результате брокерских операций на бирже значительное состояние) стал в 1823 г. директором ссудного банкаШаблон:SfnШаблон:Sfn.

В 1817 г. Родриг женился на Эфрази (Euphrasie), урождённой Викторине Дениз Мартен (Victorine Denise Marten); у них было четверо детей — два сына и две дочериШаблон:Sfn.

В последние годы жизни графа Анри де Сен-Симона Родриг входил в число наиболее ревностных его учеников. После смерти Сен-Симона (скончавшегося 19 мая 1825 г. у Родрига на руках) последний собрал вместе всех учеников графа, которые решили не расставаться и продолжать его дело. Так возникло движение сенсимонистов, во главе которого первоначально — как ближайший ученик Сен-Симона — стоял Родриг, опубликовавший ряд работ по вопросам политики, экономики и социальных реформШаблон:Sfn. В 1825—1826 гг. он (наряду с С.-А. Базаром) был редактором первого сенсимонистского журнала «Le Producteur».

Однако 31 декабря 1829 г. Родриг передал руководство делами движения П. Анфантену и С.-А. Базару, принимавшими наибольшее участие в разработке доктрины сенсимонизма, а в феврале 1832 г. вообще ушёл из сенсимонистской общины (что неблагоприятно отразилось на её положении, поскольку именно Родриг ранее заправлял всеми её денежными делами). Разрыв был вызван принципиальными разногласиями с Анфантеном, который, будучи провозглашён «Верховным Отцом», фактически превратил движение в узкую религиозную секту и активно проповедовал весьма радикальные взгляды на отношения между полами (совершенно неприемлемые для Родрига, для которого брак с Эфрази был основой всей его жизни). Впрочем, расставшись с сенсимонистским движением, Родриг оставался верным социалистическим идеалам до самой смертиШаблон:Sfn.

В 1840-е гг. Родриг активно выступал в печати в поддержку рабочего движения и за упразднение рабства; приветствовал Революцию 1848 года. Умер он в Париже 17 декабря 1851 г. и был похоронен на кладбище Пер-ЛашезШаблон:Sfn.

Научная деятельность

Основные работы Родрига относятся к механике, геометрии и теории чиселШаблон:Sfn.

Исследования по геометрии

В 1815 г. Родриг доказал важную теорему теории поверхностей — теорему Родрига, по которой необходимым и достаточным условием того, что направление является главным, служит выполнение для дифференциала радиус-вектора $𝐫$ точки поверхности в этом направлении условия

$\mathrm{d}𝐧=-k\mathrm{d}𝐫,$

где  $𝐧$ — вектор единичной нормали,  $k$ — нормальная кривизна поверхности в рассматриваемом направлении (приведённое условие сам Родриг записывал в координатной форме).

В 1816 г. Родриг в уже упоминавшейся статье «О притяжении сфероидов»Шаблон:Sfn опубликовал полученную им для многочленов Лежандра формулу (формула Родрига), дающую явное выражение для этих многочленов Данная формула для многочлена Лежандра степени $n$  может быть записана так:

$P_n(x)=\frac{1}{2^{n}n!}\frac{{\mathrm{d}}^n}{\mathrm{d}{x}^n}(x^2-1{)}^n.$

Исследования по механике

Изучение принципа Лагранжа

В 1816 г. Родриг опубликовал заметку «О способе применения принципа наименьшего действия для вывода уравнений движения, отнесённых к независимым переменным»Шаблон:Sfn, посвящённую исследованию принципа наименьшего действия в формулировке Лагранжа. В ней Родриг впервые явно оговорил асинхронный характер варьирования переменных в принципе Лагранжа. Проблему существования условного экстремума интеграла действия в форме Лагранжа Родриг свёл к задаче нахождения безусловного экстремума функционала, в котором подынтегральная функция записывается как сумма удвоенной кинетической энергии $T$  механической системы и умноженного на неопределённый множитель Лагранжа $\lambda$  выражения  $T+\mathrm{\Pi }-h$  (где $\mathrm{\Pi }$ — потенциальная энергия, $h$ — постоянная в интеграле энергии). Такое исследование Родриг провёл для случая системы свободных материальных точек и получил при этом уравнения движения системы; позднее Ф. А. Слудский распространил данное исследование на случай системы со стационарными связямиШаблон:Sfn.

Формула поворота Родрига

В 1840 г. Родриг в статье «О геометрических законах, управляющих перемещениями неизменяемой системы в пространстве, и об изменении координат, обусловленном этими перемещениями, рассматриваемыми независимо от причин, которые могут их вызывать»Шаблон:Sfn доказал формулу поворота Родрига. Эта формула, которая приводится здесь в современной векторной записи, описывает изменение положения точки абсолютно твёрдого тела после его поворота на конечный угол $\phi$ вокруг неподвижной оси с единичным вектором $𝐞$ .  Если $O$ — взятый на оси поворота полюс,  $𝐫=\overline{OA}$  и  $𝐫{}^{\prime }=\overline{OA{}^{\prime }}$ — радиус-векторы начального и конечного положений точки, то формула поворота Родрига записываетсяШаблон:Sfn в виде:

$(*)𝐫{}^{\prime }=𝐫+\frac{2}{1+{\theta }^2}[\mathit{\theta },𝐫+[\mathit{\theta },𝐫]],$

где квадратные скобки обозначают операцию векторного умножения, а $\mathit{\theta }$ — вектор конечного поворота, определяемый формулой

$\mathit{\theta }=𝐞\theta \equiv 𝐞\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\phi }{2}.$

Формула $(*)$  не может быть непосредственно использована для численных расчётов в случае, когда тело совершаетШаблон:Sfn полуоборот). Если при движении твёрдого тела подобные повороты не исключаются, применяютШаблон:Sfn другой — менее компактный — вариант формулы поворота Родрига, в котором вместо вектора конечного поворота $\mathit{\theta }$  фигурируют непосредственно угол $\phi$  и единичный вектор $𝐞$ :

$(**)𝐫{}^{\prime }=𝐫+(1-\cos \phi )[𝐞,[𝐞,𝐫]]+\sin \phi [𝐞,𝐫].$

Параметры Родрига — Гамильтона

В той же работе 1840 года Родриг применил для описания изменения ориентации твёрдого тела набор из четырёх скалярных параметров, определяемыхШаблон:Sfn следующим образом:

${\lambda }_0=e_0\sin \frac{\phi }{2},{\lambda }_1=e_1\sin \frac{\phi }{2},{\lambda }_2=e_2\sin \frac{\phi }{2},{\lambda }_3=\cos \frac{\phi }{2},$

где  $e_0,e_1,e_2$ — направляющие косинусы оси поворота  (т.е. компоненты вектора $𝐞$)  в декартовой системе координат $Oxyz$.  Данные параметры удовлетворяют условию

${\lambda }_0^2+{\lambda }_1^2+{\lambda }_2^2+{\lambda }_3^2=1,$

а компоненты вектора конечного поворота $\mathit{\theta }$  выражаются через них так:

${\theta }_0=\frac{{\lambda }_0}{{\lambda }_3},{\theta }_1=\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_3},{\theta }_2=\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_3}.$

Ныне эти параметры называютШаблон:Sfn параметрами Эйлера или параметрами Родрига — Гамильтона. Разнобой в терминологии объясняется так: впервые данные параметры были введены Эйлером в 1770 г., но соответствующая работа Эйлера внимания математиков не привлекла; Родриг, переоткрывший их (о работе Эйлера он не знал) в 1840 г., уже умел — в отличие от Эйлера — вычислять значения этих параметров для суперпозиции двух поворотов вокруг различных осей; Гамильтон же в 1853 г. дал им чёткую интерпретацию в рамках разрабатывавшейся им начиная с 1843 года теории кватернионов (оказалось, что они представляют собой компоненты кватерниона поворота, а суперпозиции двух поворотов отвечает кватернионное произведение соответствующих кватернионов поворота).

При нахождении указанной суперпозиции полезным оказывается впервые доказанноеШаблон:Sfn Родригом следующее утверждение (ныне известное как теорема Родрига — Гамильтона):  три последовательных поворота вокруг трёх неподвижных прямых, проходящих через одну точку, на углы, равные соответственно удвоенным углам между плоскостями, образуемыми данными прямыми, возвращают тело в исходную конфигурацию.

Публикации

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

См. также

• Сенсимонизм

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Статья «Olinde Rodrigues» на сайте потомков Моисея Родригеса-Энрикеса (жил в XVII веке)