Линейная динамическая система

Линейные динамические системы — это динамические системы, эволюция которых во времени описывается линейным дифференциальным уравнением (для систем с дискретным временем - линейным разностным уравнением). В то время как динамические системы в целом не имеют замкнутой формы решения, линейные динамические системы могут быть решены точно, и у них есть большой набор математических свойств. Линейные системы также могут быть использованы для понимания поведения общих динамических систем, путём расчета точек равновесия системы и приближения её в виде линейной системы вокруг каждой такой точки.

Введение

В линейной динамической системе, изменение вектора состояния ( $N$-мерный вектор обозначается $𝐱$) эквивалентно постоянной матрице (обозначается $𝐀$) умноженной на $𝐱$. Эти изменения могут иметь две формы:

или как поток, в котором $𝐱$ изменяется непрерывно со временем:

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=𝐀\cdot 𝐱(t)$

или как отображение, в котором $𝐱$ изменяется дискретно:

${𝐱}_{m+1}=𝐀\cdot {𝐱}_m$

Эти уравнения являются линейными в следующем смысле: если $𝐱(t)$ и $𝐲(t)$ - два действительных решения, то и любая линейная комбинация имеет два решения, например, $𝐳(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\alpha 𝐱(t)+\beta 𝐲(t)$ где $\alpha$ и $\beta$ два любых скаляра. Матрица $𝐀$ не обязательно должна быть симметричной.

Линейные динамические системы могут быть решены точно, в отличие от большинства нелинейных. Иногда, нелинейная система может быть решена точно изменением переменных в линейной системе. Кроме того, решения почти любой нелинейной системы могут быть приближенно найдены эквивалентно линейной системы вблизи её неподвижных точек. Следовательно, понимание линейных систем и их решение является важнейшим шагом к пониманию более сложных нелинейных систем.

Решения линейных динамических систем

Если первоначальный вектор ${𝐱}_0\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}𝐱(t=0)$ выровнен с собственным вектором ${𝐫}_k$ в матрице $𝐀$, динамика проста

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=𝐀\cdot {𝐫}_k={\lambda }_k{𝐫}_k$

где ${\lambda }_k$ является соответствующим собственному значению; решение этого уравнения

$𝐱(t)={𝐫}_k{e}^{{\lambda }_{k}t}$

как может быть подтверждено путём замены.

Если $𝐀$ диагонализируема, тогда любой вектор в $N$-мерном пространстве может быть представлен комбинацией правых и левых собственных векторов (обозначается ${𝐥}_k$) из матрицы $𝐀$.

${𝐱}_0=\sum _{k=1}^N({𝐥}_k\cdot {𝐱}_0){𝐫}_k$

Таким образом, общее решение для $𝐱(t)$ линейная комбинация отдельных решений для правых собственных векторов

$𝐱(t)=\sum _{k=1}^n({𝐥}_k\cdot {𝐱}_0){𝐫}_k{e}^{{\lambda }_{k}t}$

Аналогичные соображения применимы и к дискретным отображениям.

Классификация в двух измерениях

Классификация 2D неподвижной точки согласно следу и определителю матрицы Якоби

Корни характеристического многочлена матрицы (A - λI) являются собственными значениями A. Признак и связь этих корней, ${\lambda }_n$, друг с другом могут быть использованы для определения стабильности динамической системы

$\frac{d}{dt}𝐱(t)=𝐀𝐱(t).$

Для двухмерных систем, характеристический многочлен имеет вид ${\lambda }^2-\tau \lambda +\mathrm{\Delta }=0$ где $\tau$ след матрицы $\mathrm{\Delta }$ является детерминантом, определяющим A. Таким образом, два корня имеют вид:

${\lambda }_1=\frac{\tau +\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}$

${\lambda }_2=\frac{\tau -\sqrt{{\tau }^2-4\mathrm{\Delta }}}{2}$

Отметим также, что $\mathrm{\Delta }={\lambda }_1{\lambda }_2$ и $\tau ={\lambda }_1+{\lambda }_2$. Таким образом, если $\mathrm{\Delta }<0$ то собственные значения противоположного знака, и неподвижная точка является седловой. Если $\mathrm{\Delta }>0$ то собственные значения одного знака. Поэтому, если $\tau >0$ оба положительны и точка неустойчива, и если $\tau <0$ то оба отрицательны и точка устойчива. Дискриминант покажет нам, если точка находится в узле или спирали (т.e. если собственные значения действительные или комплексные).

См. также

• Линейная система
• Динамическая система