Поверхность вращения

Поверхность вращения — поверхность, образуемая при вращении вокруг прямой (оси поверхности) произвольной линии (прямой, плоской или пространственной кривой). Например, если прямая пересекает ось вращения, то при её вращении получится коническая поверхность, если параллельна оси — цилиндрическая, если скрещивается с осью — гиперболоид. Одна и та же поверхность может быть получена вращением самых разнообразных кривых.

Поверхность, полученная вращением кривой x=2+cos z вокруг оси z

Является объектом изучения в математическом анализе, аналитической, дифференциальной и начертательной геометрии.

Примеры

• Круговая цилиндрическая поверхность (получается вращением прямой вокруг параллельной ей прямой).
• Конус (получается вращением прямой вокруг другой прямой, пересекающей первую).
• Сфера (получается вращением окружности вокруг оси, лежащей в той же плоскости и проходящей через её центр).
• Тор (получается вращением окружности вокруг не пересекающей её оси, лежащей в той же плоскости).
• Эллипсоид вращения ― эллипсоид, длины двух полуосей которого совпадают (получается вращением эллипса вокруг одной из его осей).
• Параболоид вращения ― эллиптический параболоид, полученный вращением параболы вокруг своей оси.
• Катеноид (получается вращением цепной линии).

Площадь

Площадь поверхности вращения, образованной вращением плоской кривой конечной длины вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равна произведению длины кривой на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра масс кривой. Это утверждение называется второй теоремой Паппа — Гульдина, или теоремой Паппа о центроиде.

Например, для тора с радиусами $r,R$, площадь поверхности равна

$S=(2\pi r)\cdot (2\pi R)=4{\pi }^{2}rR$.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),a\le x\le b$ вокруг оси $Ox$, можно вычислить по формуле

$S=2\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)\sqrt{1+{(f^{\prime }(x))}^2}dx$.

Площадь поверхности вращения, образованной вращением кривой $x=x(t),y=y(t),\alpha \le t\le \beta$ вокруг оси $Ox$, можно вычислить по формуле

$S=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}y(t)\sqrt{{(x^{\prime }(t))}^2+{(y^{\prime }(t))}^2}dt$.

Для случая, когда кривая задана в полярной системе координат $r=\rho (\phi ),\alpha \le \phi \le \beta$, действительна формула

$S=2\pi \underset{\alpha }{\overset{\beta }{\int }}\rho (\phi )|\sin \phi |\sqrt{{(\rho (\phi ))}^2+{({\rho }^{\prime }(\phi ))}^2}d\phi$.

Объём

Объём, ограниченный поверхностью вращения, образованной вращением плоской замкнутой несамопересекающейся кривой вокруг оси, лежащей в плоскости кривой, но не пересекающей кривую, равен произведению площади плоской фигуры, ограниченной кривой, на длину окружности с радиусом, равным расстоянию от оси до центра тяжести плоской фигуры.

Объём поверхности вращения, образованной вращением кривой $y=f(x),a\le x\le b$ вокруг оси $0x$, можно вычислить по формуле

$V=\pi \underset{a}{\overset{b}{\int }}{f}^2(x)dx$.

Вариации и обобщения

• Искривлённое произведение