Многочлен Кауфмана

Шаблон:К переименованию Многочлен Кауфмана — многочлен узла от двух переменных, предложенный Шаблон:Нп2. Первоначально был определён на диаграмме зацеплений как:

F (K) (a, z) = a^{- w (K)} L (K)

,

где $w (K)$ — закрученность диаграммы зацепления и $L (K)$ — многочлен, определённый на диаграмме зацепления со следующими свойствами:

$L (O) = 1$ ( $O$ — тривиальный узел);
$L (s_{r}) = a L (s), L (s_{ℓ}) = a^{- 1} L (s)$ ;
$L$ не меняется при применении движений Рейдемейстера типа II и III.

Здесь $s$ — нить, а $s_{r}$ (соответственно, $s_{ℓ}$ ) — та же нить с добавлением правого (соответственно, левого) витка (используя движение Рейдемейстера типа I).

Кроме того, $L$ должно удовлетворять скейн-соотношению Кауфмана:

Рисунки представляют многочлен $L$ диаграмм, которые различны внутри окружности, как показано, но идентичны вовнеШаблон:Уточнить.

Кауфман показал, что $L$ существует и является Шаблон:Не переведено 5 инвариантом неориентированных зацеплений, откуда следует, что $F$ является объемлюще-изотопическим инвариантом ориентированных зацеплений.

Многочлен Джонса — специальный вид многочлена Кауфмана, когда $L$ сужается до скобок Кауфмана. Многочлен Кауфмана связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для $S O (N)$ так же, как многочлен HOMFLY связан с калибровочной теорией Черна — Саймонса для $S U (N)$ ^[1].