Матрица Картана

В математике термин матрица Картана имеет три значения. Все они названы по имени французского математика Эли Картана. Фактически, матрицы Картана в контексте алгебр Ли впервые исследовал Вильгельм Киллинг, в то время как форма Киллинга принадлежит Картану.

Алгебры Ли

Обобщённая матрица Картана — это квадратная матрица $A=(a_{ij})$ с целыми элементами, такая что

1. Диагональные элементы a_ii = 2.
2. Недиагональные элементы $a_{ij}\le 0$.
3. $a_{ij}=0$ тогда и только тогда, когда $a_{ji}=0$.
4. A может быть записана в виде DS, где D — диагональная матрица, а S является симметричной.

Например, матрицу Картана для G₂ можно разложить следующим образом:

$\left[\begin{array}{cc}2& -3\\ -1& 2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}3& 0\\ 0& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}2/3& -1\\ -1& 2\end{array}\right].$

Третье условие не является независимым и является следствием первого и четвёртого условий.

Мы всегда можем выбрать D с положительными диагональными элементами. В этом случае, если S в разложении является положительно определённой, то говорят, что A является матрицей Картана.

Матрица Картана простой алгебры Ли — это матрица, элементы которой являются скалярными произведениями

$a_{ij}=2\frac{(r_i,r_j)}{(r_i,r_i)}$

(иногда называемыми целыми числами Картана), где r_i — система корней алгебры. Элементы являются целыми ввиду одного из свойств системы корней. Первое условие вытекает из определения, второе — из факта, что для $i\ne j,r_j-\frac{2(r_i,r_j)}{(r_i,r_i)}{r}_i$ является корнем, который является линейной комбинацией простых корней r_i и r_j с положительным коэффициентом для r_j, а тогда коэффициент при r_i должен быть неотрицательным. Третье условие верно ввиду симметричности отношения ортогональности. И, наконец, пусть $D_{ij}=\frac{{\delta }_{ij}}{(r_i,r_i)}$ и $S_{ij}=2(r_i,r_j)$. Поскольку простые корни линейно независимы, то S является их матрицей Грама (с коэффициентом 2), а потому является положительно определённой.

И обратно, если дана обобщённая матрица Картана, можно найти соответствующую ей алгебру Ли (см. подробности в статье Шаблон:Не переведено 5).

Классификация

Матрица A размером $n\times n$ является разложимой, если существует непустое подмножество $I\subset \{1,\dots ,n\}$ такое, что $a_{ij}=0$ для всех $i\in I$ и $j\notin I$. A является неразложимой, если это условие не выполняется.

Пусть A — неразложимая обобщённая матрица Картана. Мы говорим, что A имеет конечный тип, если все её главные миноры положительны, что A имеет аффинный тип, если все её собственные главные миноры положительны и определитель матрицы A равен 0 и что A имеет неопределённый тип в остальных случаях.

Неразложимые матрицы конечного типа классифицируют простые группы Ли конечной размерности (типа $A_n,B_n,C_n,D_n,E_6,E_7,E_8,F_4,G_2$), в то время как неразложимые матрицы аффинного типа классифицируют Шаблон:Не переведено 5 (над некоторыми алгебраически замкнутими полями с характеристикой 0).

Определители матриц Картана простых алгебр Ли

Определители матриц Картана простых алгебр Ли даны в таблице.

$A_n$	$B_n$, $n\ge 2$	$C_n$, $n\ge 2$	$D_n$, $n\ge 4$	$E_n$, $n=6,7,8$	$F_4$	$G_2$
n+1	2	2	4	9-n	1	1

Другое свойство этого определителя — он равен индексу ассоциированной системы корней, то есть он равен $|P/Q|$, где $P,Q$ обозначают Шаблон:Не переведено 5 и корневую решётку соответственно.

Представления конечномерных алгебр

В Шаблон:Не переведено 5 и в более общей теории представлений конечномерных ассоциативных алгебр, не являющихся Шаблон:Не переведено 5, матрица Картана определяется путём рассмотрения (конечного) множества Шаблон:Не переведено 5 и написания Шаблон:Не переведено 5 для них в терминах простых модулей, получая матрицу целых чисел, содержащую число вхождений простого модуля.

Матрицы Картана в M-теории

В М-теории можно представить геометрию как предел двуциклов, которые пересекают друг друга в конечном числе точек, при стремлению площади двуциклов к нулю. В пределе возникает группа локальной симметрии. Матрица индексов пересечения базиса двуциклов, гипотетически, является матрицей Картана алгебры Ли этой группы локальной симметрии.

Это можно объяснить следующим образом: в M-теории имеются солитоны, являющиеся двумерными поверхностями, называемыми мембранами или 2-бранами. 2-браны имеют натяжение и потому стремятся к уменьшению, но они могут быть обёрнуты вокруг двуциклов, предотвращающих схлапывание мембран до нуля.

Можно осуществить Шаблон:Не переведено 5 одной размерности, в которой находятся все двуциклы и их точки пересечения, и взять предел, при котором размерность схлапывается до нуля, тем самым получая понижение по этой размерности. Тогда получаем теорию струн типа IIA как предел M-теории с 2-бранами, оборачивающими двуциклы, теперь представленными как открытые струны, натянутые между D-бранами. Имеется группа локальной симметрии U(1) для каждой D-браны, подобная степеням свободы движения без изменения ориентации. Предел, где двуциклы имеют нулевую площадь, является пределом, где эти D-браны находятся на вершине друг друга.

Открытая струна, натянутая между двумя D-бранами представляет генератор алгебры Ли, и коммутатор двух таких генераторов является третьим генератором, представленным открытой струной, который можно получить путём склеивания рёбер двух открытых струн. Дальнейшие связи между различными открытыми струнами зависит от способа, которым 2-браны могут пересекаться в исходной M-теории, то есть в числе пересечений двуциклов. Таким образом, алгебра Ли зависит полностью от этих чисел пересечения. Связь с матрицей Картана предполагается, потому что она описывает коммутаторы простых корней, которые связаны с двуциклами в выбранном базисе.

Заметим, что генераторы в подалгебре Картана представлены открытыми струнами, которые натянуты между D-браной и той же браной.

См. также

• Диаграмма Дынкина
• Шаблон:Не переведено 5
• Фундаментальное представление
• Форма Киллинга
• Простая группа Ли

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Mathworld