Поверхность Боя

Модель поверхности Боя в Обервольфахе

Поверхность Боя — первый известный пример погружения вещественной проективной плоскости в трёхмерное евклидово пространство.

История

Поверхность построена Вернером Боем в 1901 году. По предложению Гильберта, Бою требовалось доказать, что проективная плоскость не допускает таких погружений.

Построение

1. Начните со сферического колпака.
2. Разделите его край на шесть равных частей и прикрепите к чётным частям  три полоски.
3. Согните каждую полоску и прикрепите другой конец к противоположному участку края колпака. При проходе через полоску должна обращаться ориентация
   
4. Склеить оставшиеся края полосок.
   

Свойства

• Поверхность Боя имеет трёхкратную осевую симметрию. То есть, существует ось такая, что любой поворот на 120° вокруг этой оси будет переводит поверхность в себя.
  • В частности, поверхность Боя можно разрезать на три попарно конгруэнтные части.
• Поверхность Боя появляется на полпути в реализации выворачивания сферы.

Параметризация Брайанта — Кунсера

Наиболее естественная параметризация была предложена Робом Кунсером и Шаблон:Iw.

Для комплексного числа $w$, пусть

$\begin{array}{cc}{g}_1& =-\frac{3}{2}\cdot \mathrm{I}\mathrm{m}\left[\frac{w\cdot (1-w^4)}{w^6+\sqrt{5}\cdot w^3-1}\right]\\ g_2& =-\frac{3}{2}\cdot \mathrm{R}\mathrm{e}\left[\frac{w\cdot (1+w^4)}{w^6+\sqrt{5}\cdot w^3-1}\right]\\ g_3& =\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\frac{1+w^6}{w^6+\sqrt{5}\cdot w^3-1}\right]-\frac{1}{2}\\ \end{array}$

Поверхность $w\mapsto (g_1,g_2,g_3)$ является минимальной поверхностью с тремя концами. Её инверсия, то есть поверхность $w\mapsto (x,y,z)$ задаваемая как

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\frac{1}{g_1^2+g_2^2+g_3^2}\cdot \left(\begin{array}{c}{g}_1\\ g_2\\ g_3\end{array}\right).$

и есть поверхности Боя.

Замечания

• Поверхность остаётся неизменной при замене $w\mapsto -\frac{1}{\overline{w}}$, где $\overline{w}$ комплексно-сопряженное к $w$.

См. также

• поверхность Морина

Литература

• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback описывет полиэдральную модель поверхности Боя.
  • Шаблон:Citation Шаблон:Wayback Article on the cover illustration that accompanies the Rob Kirby article.
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback.
• Шаблон:Citation Шаблон:Wayback.
• Шаблон:Citation
• Sanderson, B. Boy's will be Boy's Шаблон:Wayback.

Внешние ссылки

• Страница, посвященная поверхности Боя, содержащие различные визуализации различных уравнений, а также полезные ссылки и ссылки Шаблон:Wayback
• [1] Шаблон:Wayback - апплет плюс журнал.
• [2] Шаблон:Wayback, содержит в том числе оригинальные статьи Шаблон:Wayback, и внедрение Шаблон:Wayback в тополога в Обервольфах мальчика поверхностью.
• [3] Шаблон:Wayback
• Бумажная модель для поверхности Боя — выкройка и инструкции
• Модель на основе java, которая может быть свободно повернута Шаблон:Wayback
• Поверхность поля линии окраски Шаблон:Wayback
• поверхность Боя Шаблон:Wayback визуализации видео из математического Института сербской Академии наук и искусств
• [4] Шаблон:Wayback как сделать поверхность Боя, используя ножницы, кусок бумаги, и скотча. План бумаги в видео.