Конец топологического пространства

Конец топологического пространства — грубо говоря, компонента связности его «идеальной границы». То есть, каждый конец представляет собой способ двигаться к бесконечности в пространстве.

Добавление точки на каждом конце даёт компактификацию исходного пространства, известную как конечная компактификация.

Определение

Пусть X — топологическое пространство, и пусть

$K_1\subset K_2\subset \dots$

есть возрастающая последовательность компактных подмножеств в X, чьи внутренности покрывают X. Тогда X имеет один конец для каждой последовательности

$U_1\supset U_2\supset \dots$,

где каждое U_n — это компонента связности дополнения X\K_n.

Несложно доказать, что число концов не зависит от конкретной последовательности {K_n} компактных множеств.

Примеры

• Компактное пространство не имеет концов.
• Вещественная прямая $ℝ$ имеет два конца, ∞ и −∞.
• Евклидово пространство ${ℝ}^n$ при n > 1 имеет только один конец. Это происходит потому, что у ${ℝ}^n\setminus K$ есть только одна неограниченная компонента для любого компакта K.
  • Более того, если М — компактное многообразие с краем, то число концов его внутренности равно числу компонент связности границы М.
• Объединение n лучей, исходящих из начала координат в ${ℝ}^2$, имеет n концов.
• Бесконечное полное бинарное дерево имеет несчётное число концов. Эти концы можно рассматривать в качестве «кроны» бесконечного дерева. В конечной компактификации множество концов гомеоморфно Канторову множеству.

История

Понятие конца топологического пространства было введено Гансом Фройденталем в 1931 году.

Вариации и обобщения

Определение конца данное выше относится только к пространствам X, которые допускают исчерпывание компактами. Однако оно может быть обобщено следующим образом: пусть X — любое топологическое пространство, рассмотрим прямую систему {K} компактных подмножеств в X с отображениями включения. Рассмотрим соответствующую обратную систему связных компонент дополнений {π₀(X\K)}. Тогда множество концов в Х определяется как обратный предел этой обратной системы.

Ссылки

• Шаблон:Citation.
• Шаблон:Citation
• Ross Geoghegan, Topological methods in group theory, GTM-243 (2008), Springer ISBN 978-0-387-74611-1.
• Peter Scott, Terry Wall, Topological methods in group theory, London Math. Soc. Lecture Note Ser., 36, Cambridge Univ. Press (1979) 137—203.