Проективный предел

Шаблон:Значения Проективный предел (обратный предел) — используемая в различных разделах математики конструкция, которая позволяет построить новый объект $X$ по семейству (индексированному направленным множеством) однотипных объектов $X_i$ и набору отображений $f_{ij}:X_j\to X_i$, $i⩽j$. Один из видов пределов в теории категорий.

Для проективного предела обычно используются следующие обозначения:

$X=\underleftarrow{\lim }{X}_i$,

$X=\mathrm{proj\; lim}{X}_i$.

Проективный предел можно определить в произвольной категории. Двойственное понятие — прямой предел.

История

Проективные пределы появляются в работах Александрова.

Определение

Алгебраические структуры

Для алгебраических систем проективный предел определяется следующим образом. Пусть $I$ — направленное множество $⩽$ (например, множество целых чисел), и пусть каждому элементу $i\in I$ сопоставлена алгебраическая система $X_i$ из какого-либо фиксированного класса (например, абелевых групп, модулей над заданным кольцом), а каждой паре $(i,j)$, такой что $i,j\in I$, $i⩽j$, сопоставлен гомоморфизм $f_{ij}:X_j\to X_i$, причём $f_{ii}$ — тождественные отображения для любого $i\in I$ и $f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}$ для любых $i⩽j⩽k$ из $I$. Тогда множество-носитель проективного предела направленного семейства — это подмножество $X$ прямого произведения $X_i$, для элементов которого каждая компонента эквивалентна компонентам с меньшими индексами:

$\underleftarrow{\lim }{X}_i=\{(x_i)\in \prod _{i\in I}{X}_i|x_i=f_{ij}(x_j)\mathrm{\forall }i⩽j\}.$

Существуют канонические проекции ${\pi }_i:X\to X_i$, выбирающие $i$-ю компоненту прямого произведения для каждого $i\in I$. Эти проекции должны являться гомоморфизмами, исходя из этого можно восстановить добавленную алгебраическую структуру на проективном пределе.

Общий случай

В произвольной категории проективный предел можно описать при помощи его универсального свойства. Пусть $(X_i,f_{ij})$ — семейство объектов и морфизмов категории C, удовлетворяющее тем же требованиям, что и в предыдущем пункте. Тогда $X$ называется проективным пределом системы $(X_i,f_{ij})$, или $X=\underleftarrow{\lim }{X}_i$, если выполнены следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\pi }_i:X\to X_i$, что ${\pi }_i=f_{ij}\circ {\pi }_j$ для любых $i⩽j$;
2. для любого семейства отображений ${\psi }_i:Y\to X_i$, произвольного объекта $Y$, для которого выполнены равенства ${\psi }_i=f_{ij}\circ {\psi }_j$ для любых $i⩽j$, существует единственное отображение $u:Y\to X$, что ${\psi }_i={\pi }_i\circ u$, для всех $i\in I$.

Более общо, проективный предел — это предел в категорном смысле системы $(X_i,f_{ij})$.

Примеры

• Целые $p$-адические числа являются проективным пределом последовательности ${\mathbb{Z}}_{p^n}$ с естественными отображениями вида «взятие остатка» ${\mathbb{Z}}_{p^n}\to {\mathbb{Z}}_{p^m}$ при $n⩾m$.
• Кольцо $R[[t]]$ формальных степенных рядов над коммутативным кольцом $R$ — проективный предел колец $R[t]/t^{n}R[t]$, индексированных натуральными числами, с естественными проекциями $R[t]/t^{n+j}R[t]\to R[t]/t^{n}R[t]$.
• Канторово множество гомеоморфно проективному пределу произведений двуточечных множеств (с дискретной топологией) с проекциями на первые несколько координат в качестве отображений.
• Проконечные группы определяются как проективные пределы конечных (дискретных) групп.
• В категории топологических пространств проективные пределы задаются Шаблон:Не переведено 5 на соответствующем множестве-носителе.

Литература

• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика
• Шаблон:Из
• Шаблон:Статья