Индуктивный предел

Шаблон:Значения Индуктивный предел (или прямой предел, копредел) — конструкция, возникшая первоначально в теории множеств и топологии, а затем нашедшая широкое применение во многих разделах математики. Двойственное понятие — проективный (или обратный) предел.

Эта конструкция позволяет построить новый объект $X$ по последовательности (индексированной направленным множеством) однотипных объектов $X_i$ и набору отображений $f_{ij}:X_i\to X_j$, $i⩽j$. Для индуктивного предела обычно используется обозначение

$X=\underrightarrow{\lim }{X}_i$.

Мы дадим определение для алгебраических структур, а затем — для объектов произвольной категории.

Определение

Алгебраические объекты

В этом разделе будет дано определение, подходящее для множеств с добавленной структурой, таких как группы, кольца, модули над фиксированным кольцом и т. д.

Пусть $I$ — направленное множество с отношением предпорядка $⩽$ и пусть каждому элементу $i\in I$ сопоставлен алгебраический объект $X_i$, а каждой паре $(i,j)$, $i,j\in I$, в которой $i⩽j$, сопоставлен гомоморфизм $f_{ij}:X_i\to X_j$, причём $f_{ii}$ — тождественные отображения для любого $i\in I$ и $f_{ik}=f_{jk}\circ f_{ij}$ для любых $i⩽j⩽k$ из $I$. Такую систему объектов и гомоморфизмов называют также направленной системой.

Тогда множество-носитель прямого предела направленной системы $(X_i,f_{ij})$ — это фактормножество дизъюнктного объединения множеств-носителей $X_i$ по отношению эквивалентности:

$\underrightarrow{\lim }{X}_i=\underset{i}{⨆}{X}_i/\sim .$

Здесь $x_i\in X_i$ и $x_j\in X_j$ эквивалентны, если существует такое $k\in I$, что $f_{ik}(x_i)=f_{jk}(x_j)$. Интуитивно, два элемента дизъюнктного объединения эквивалентны, тогда и только тогда, когда они «рано или поздно станут эквивалентными» в направленной системе. Более простая формулировка — это транзитивное замыкание отношения эквивалентности «каждый элемент эквивалентен своим образам», то есть $x_i\sim f_{ik}(x_i)$.

Из этого определения легко получить канонические морфизмы ${\varphi }_i:X_i\to X$, отправляющие каждый элемент в его класс эквивалентности. Добавленную алгебраическую структуру на $X$ можно получить, исходя из знания этих гомоморфизмов.

Определение для произвольной категории

В произвольной категории прямой предел можно определить с помощью его универсального свойства. А именно, прямой предел направленной системы $(X_i,f_{ij})$ — это объект $X$ категории, такой что выполняются следующие условия:

1. существует такое семейство отображений ${\varphi }_i:X_i\to X$, что ${\varphi }_i={\varphi }_j\circ f_{ij}$ для любых $i⩽j$;
2. для любого семейства отображений ${\psi }_i:X_i\to Y$, в произвольное множества $Y$, для которого выполнены равенства ${\psi }_i={\psi }_j\circ f_{ij}$ для любых $i⩽j$, существует единственное отображение $u:X\to Y$, что ${\psi }_i=u\circ {\varphi }_i$, для всех $i\in I$.

Более общо, прямой предел направленной системы — это то же самое, что её копредел в категорном смысле.

Примеры

• На произвольном семействе подмножеств данного множества можно задать структуру предпорядка по включению. Если этот предпорядок действительно является направленным, то прямой предел семейства — это обычное объединение множеств.
• Пусть p — простое число. Рассмотрим направленную систему из групп Z/pⁿZ и гомоморфизмов Z/pⁿZ → Z/pⁿ⁺¹Z, индуцированных умножением на p. Прямой предел этой системы содержит все корни из единицы, порядок которых — некоторая степень p. Их группа по умножению называется группой Прюфера Z(p^∞).
• Пусть F — пучок на топологическом пространстве X со значениями в C. Зафиксируем точку x в X. Открытые окрестности x образуют направленную систему по включению (U ≤ V если U содержит V). Функтор пучка сопоставляет ей направленную систему (F(U), r_U,V), где r — отображения ограничения. Прямой предел этой системы называется слоем F над x и обозначается F_x.
• Прямые пределы в категории топологических пространств получаются присвоением Шаблон:Не переведено 5 соответствующему множеству-носителю.

Литература

• С. Маклейн. Категории для работающего математика, — Шаблон:М: ФИЗМАТЛИТ, 2004. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4.
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation