Предпорядок

Предпоря́док (квазипоря́док) — бинарное отношение на множестве, обладающее свойствами рефлексивности и транзитивности. Обычно это отношение обозначается $\preccurlyeq$, тогда аксиомы предпорядка на множестве $M$ принимают вид:

$\mathrm{\forall }a\in M:a\preccurlyeq a$,

$\mathrm{\forall }a,b,c\in M:(a\preccurlyeq b\wedge b\preccurlyeq c)\Rightarrow (a\preccurlyeq c)$.

Шаблон:ЯкорьЛинейный предпорядок — предпорядок на множестве, для которого любые два элемента множества сравнимы:

$\mathrm{\forall }a,b\in X:(a\preccurlyeq b)\vee (b\preccurlyeq a)$.

Теория категорий

Категория $𝒫$ называется предпорядком, если для любых двух объектов $a,b\in Ob𝒫$ существует не более одного морфизма $f:a\to b$. Если $𝒫$ — малая категория, то на множестве её объектов можно задать отношение предпорядка по следующему правилу:

$a\preccurlyeq b⟺\mathrm{\exists }f:a\to b$.

Из аксиом категории следует, что такое отношение будет рефлексивным и транзитивным. Предпорядок — абстрактная категория, то есть его в общем случае нельзя представить как категорию некоторых множеств с заданной структурой и отображениями, сохраняющими эту структуру. Также предпорядок — скелетная категория.

Если малая категория $𝒞$ полна в малом, то она является предпорядком, причём каждое малое множество его элементов имеет наибольшую нижнюю грань. Произведение набора (множества, класса) объектов предпорядка — это наибольшая нижняя грань для этого набора. Копроизведение набора объектов — это его наименьшая верхняя грань. Начальный объект $0$ в предпорядке $𝒫$, если он существует, — это его наименьший объект, так что $\mathrm{\forall }a\in 𝒫:0\preccurlyeq a$. Аналогично, терминальный объект предпорядка — это наибольший объект в нём.

Шаблон:ЯкорьОбъектами категории предпорядков (обозначаемой обычно $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$) являются предпорядки (в смысле категорий), в частности, множества, на которых задано отношение предпорядка. Морфизмы в этой категории — отображения множеств, сохраняющие отношение предпорядка, то есть монотонные отображения. Подкатегория малых предпорядков ${𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝}_S$ — конкретная категория, наделённая очевидным унивалентным забывающим функтором:

$U:{𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝}_S\to 𝐒𝐞𝐭$,

сопоставляющим каждому малому предпорядку множество его объектов, а каждому морфизму — монотонное отображение соответствующих множеств. Этот функтор создаёт пределы в $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$. Таким образом, аналогично $𝐒𝐞𝐭$, начальным объектом в $𝐏𝐫𝐞𝐨𝐫𝐝$ является пустое множество, терминальным объектом — множество из одного элемента, произведением объектов — прямое произведение соответствующих множеств с покомпонентным сравнением.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга:Категории для работающего математика