Уплощённая треугольная клиноротонда

Уплощённая треуго́льная клинорото́нда — один из многогранников Джонсона (J₉₂, по Залгаллеру — М₂₀).

Составлена из 20 граней: 13 правильных треугольников, 3 квадратов, 3 правильных пятиугольников и 1 правильного шестиугольника. Шестиугольная грань окружена тремя квадратными и тремя треугольными; каждая пятиугольная — пятью треугольными; каждая квадратная — шестиугольной и тремя треугольными; среди треугольных 1 грань окружена тремя пятиугольными, 3 грани — двумя пятиугольными и квадратной, 6 граней — пятиугольной, квадратной и треугольной, остальные 3 — шестиугольной и двумя треугольными.

Имеет 36 рёбер одинаковой длины. 3 ребра располагаются между шестиугольной и квадратной гранями, 3 ребра — между шестиугольной и треугольной, 15 рёбер — между пятиугольной и треугольной, 9 рёбер — между квадратной и треугольной, остальные 6 — между двумя треугольными.

У уплощённой треугольной клиноротонды 18 вершин. В 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся две пятиугольных грани и две треугольных; в 6 вершинах (расположенных как вершины неправильного плоского шестиугольника) сходятся пятиугольная, квадратная и две треугольных грани; в 3 вершинах (расположенных как вершины правильного треугольника) сходятся пятиугольная и три треугольных грани; в 6 вершинах (расположенных как вершины правильного шестиугольника) сходятся шестиугольная, квадратная и две треугольных грани.

Метрические характеристики

Если уплощённая треугольная клиноротонда имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(12+19\sqrt{3}+3\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 16,3886735a^2,$

$V=\frac{1}{6}(15+7\sqrt{5})a^3\approx 5,1087460a^3.$

В координатах

Уплощённую треугольную клиноротонду с длиной ребра $2$ можно расположить в декартовой системе координат так, чтобы её вершины имели следующие координаты:

• треугольник, параллельный шестиугольнику:

$(0;\frac{2}{\sqrt{3}};\frac{2{\mathrm{\Phi }}^2}{\sqrt{3}}),$ $(\pm 1;-\frac{1}{\sqrt{3}};\frac{2{\mathrm{\Phi }}^2}{\sqrt{3}});$

• основания треугольников, имеющих с первым треугольником общую вершину:

$(\pm 1;\frac{{\mathrm{\Phi }}^3}{\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi }}{\sqrt{3}}),$ $(\pm {\mathrm{\Phi }}^2;-\frac{1}{\mathrm{\Phi }\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi }}{\sqrt{3}}),$ $(\pm \mathrm{\Phi };-\frac{\mathrm{\Phi }+2}{\sqrt{3}};\frac{2\mathrm{\Phi }}{\sqrt{3}});$

• вершины пятиугольников напротив первого треугольника:

$(\pm {\mathrm{\Phi }}^2;\frac{{\mathrm{\Phi }}^2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}}),$ $(0;-\frac{2{\mathrm{\Phi }}^2}{\sqrt{3}};\frac{2}{\sqrt{3}});$

• шестиугольник:

$(\pm 1;\pm \sqrt{3};0),$ $(\pm 2;0;0),$

где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения.

При этом ось симметрии многогранника будет совпадать с осью Oz, а одна из трёх плоскостей симметрии — с плоскостью yOz.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld