Группа классов преобразований поверхности

Группа классов преобразований поверхности — это группа гомеоморфизмов с точностью до непрерывной деформации. Она естественно возникает при изучении трёхмерных многообразий и связана с другими группами, в частности с группами кос и группой внешних автоморфизмов группы.

Группа классов отображений может быть определена для произвольных многообразий и для произвольных топологических пространств, но случай поверхностей является наиболее изученным в теории групп.

История

Начало изучению групп классов отображений было положено Максом Деном и Якобом Нильсеном. Ден построил конечную систему образующих этой группы, а Нильсен доказал, что все автоморфизмы фундаментальных групп поверхностей инициируются гомеоморфизмами.

В середине семидесятых Уильям Тёрстон использовал эту группу при изучении трёхмерных многообразий.

Позднее группа классов стала изучаться в геометрической теории групп, где она служит полигоном для различных гипотез и разработке технических инструментов.

Определение

Пусть $S$ есть связная, замкнутая, ориентируемая поверхность, и ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)$ есть группа её гомеоморфизмов, сохраняющих ориентацию, снабжённая компактно-открытой топологией.

Связная компонента единицы в ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)$  обозначается ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_0(S)$. Она состоит из гомеоморфизмов ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)$, изотопных тождественному гомеоморфизму. Подгруппа ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_0(S)$  является нормальной подгруппой ${\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)$.

Группа классов преобразований поверхности отображений $S$ определяется как факторгруппа

$\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S)={\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)/{\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}_0(S).$

Замечания

• Если в этом определении использовать все гомеоморфизмы (не только сохраняющие ориентацию), получаем расширенную группу классов преобразований ${\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}}^{\pm }(S)$, в которой группа $\mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S)$ содержится как подгруппа индекса 2.

• Это определение также может быть дано для категории диффеоморфизмов. Точнее, если слово «гомеоморфизм» заменить везде на «диффеоморфизм», мы получаем ту же группу, поскольку включение ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}}^{+}(S)\subset {\mathrm{H}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{o}}^{+}(S)$ индуцирует изоморфизм соответствующими классами.

• В случае, когда $S$ — компактная поверхность с краем $\partial S$, в определении берутся только гомеоморфизмы, фиксирующие все точки на краю.

• Для поверхностей с выколотыми точками группа определяется точно так же, как указано выше.
  • Обратите внимание, что отображению классов разрешается переставлять выколотые точки, но не компоненты края.

Примеры

• Группа классов преобразований сферы — тривиальна.
• Группа классов отображений тора ${𝕋}^2={ℝ}^2/{\mathbb{Z}}^2$ естественно изоморфна модулярной группе ${\mathrm{S}\mathrm{L}}_2(\mathbb{Z})$.
• Группа классов отображений кольца является циклической группой, образованной одним скручиванием Дена.
• Группа кос с n нитями естественным образом изоморфна группе классов преобразований диска n выколотыми точками.

Свойства

• Группа классов преобразований поверхности счётная.

• Расширенная группа классов преобразований поверхности без края изоморфна группе автоморфизмов её фундаментальной группы.
  • Более того, любой автоморфизм фундаментальной группы индуцируется некоторым гомеоморфизмом поверхности.
  • Вообще говоря, утверждение перестаёт быть верным для поверхностей с краем. В этом случае фундаментальная группа является свободной группой, и группа внешних автоморфизмов группы включает группу классов преобразований поверхности как собственную подгруппу.

• Для компактной поверхности $S$ и $x\in S$ существует точная последовательность

  $1\to {\pi }_1(S,x)\to \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S\setminus \{x\})\to \mathrm{M}\mathrm{o}\mathrm{d}(S)\to 1.$

• Любой элемент $\alpha$ группы классов преобразований поверхности попадает в одну из трёх категорий:
  • $\alpha$ имеет конечный порядок (то есть ${\alpha }^n=1$ для некоторого $n$);
  • $\alpha$ приводим, то есть существует набор непересекающихся замкнутых кривых на $S$, сохраняющихся под действием $\alpha$;
  • $\alpha$ Шаблон:Iw.

• Группа классов преобразований поверхности может быть порождена
  • Двумя элементами
  • Инволюциями
  • Существует конечное задание с скручиваниями Дена как образующими.
    • Наименьшее число скручиваний Дена, образующих группу классов преобразований поверхности рода $g⩾2$, равно $2g+1$.

• Группа классов преобразований поверхности естественно действует на её пространстве Тейхмюллера.
  • Это действие собственно разрывное, не свободно.
  • Метрики на пространстве Тейхмюллера могут быть использованы для установления некоторых глобальных свойств группы классов преобразований. Например из этого следует, что максимальная квази-изометрически вложенная плоскость в группу классов преобразований поверхности рода $g$ имеют размерность $3g-3+k$.

• Группа классов преобразований поверхности естественно действует на Шаблон:Iw поверхности. Это действие, вместе с комбинаторно-геометрическими свойствами комплекса кривых, может быть использовано для доказательства различных свойств группы классов преобразований.
  • В частности, это объясняет наличие у группы некоторых свойств, близких к гиперболичности Громова.

• Первые гомологии группы классов преобразований поверхности конечны.
  • Из этого следует, что первые группы когомологий также конечны.

• Группа классов преобразований поверхности остаточно конечна.

• Группа классов преобразований поверхности имеет только конечное число классов сопряжённости.

• Неизвестно, является ли группа классов преобразований поверхности линейной группой. Кроме симплектических представлений на гомологиях, известны и другие линейные представления, вытекающие из топологической квантовой теории поля. Образы этих представлений содержатся в арифметических группах, которые не являются симплектическими.
• Размерность нетривиального действия группы классов преобразований поверхности рода $g$ не может быть меньше $2\sqrt{g-1}$.

Литература

• Шаблон:Книга
• A. A. Гайфулин, Группы классов отображений и их подгруппы Шаблон:Wayback.