Математическое совпадение

Математическое совпадение — ситуация, когда два выражения дают почти одинаковые значения, хотя теоретически это совпадение никак объяснить нельзя. Например, существует близость круглого числа 1000, выраженного как степень 2 и как степень 10: $2^{10}=1024\approx 1000=10^3$. Некоторые математические совпадения используется в инженерном деле, когда одно выражение используется как приближение другого.

Введение

Математическое совпадение часто связано с целыми числами, и удивительные («случайные») примеры отражают факт, что вещественные числа, возникающие в некоторых контекстах, оказываются по некоторым стандартам «близкой» аппроксимацией малых целых чисел или степени десятки, или, более общо, рационального числа с малым знаменателем. Другой вид математических совпадений, таких как целые числа, одновременно удовлетворяющие нескольким, внешне не связанным, критериям или совпадения, относящиеся к единицам измерения. В классе чисто математических совпадений некоторые простые результаты имеют глубокое математическое основание, в то время как другие появляются «нежданно-негаданно».

Если дано счётное число путей образования математических выражений, использующих конечное число символов, совпадение числа используемых символов и точности приближения может быть наиболее очевидным путём получения математического совпадения. Стандарта, однако, нет и Шаблон:Не переведено 5 является видом аргумента, к которому прибегают, когда нет формального математического понимания. Необходимо некоторое эстетическое математическое чувство для вынесения решения о значении математического совпадения, является ли это исключительным явлением, либо это важный математический факт (например, Шаблон:Не переведено 5 ниже о константе, которая появилась в печати несколько лет назад как научная первоапрельская шуткаШаблон:Sfn). Подводя итог, эти случайные совпадения рассматриваются из-за их курьёзности или для ободрения любителей математики на элементарном уровне.

Некоторые примеры

Рациональные приближения

Иногда простые рациональные приближения исключительно близки к интересным иррациональным значениям. Факт объясним в терминах представления иррациональных значений непрерывными дробями, но почему эти невероятные совпадения случаются, часто остаётся неясным.

Часто используется рациональное приближение (непрерывными дробями) к отношению логарифмов различных чисел, что даёт (приближённое) совпадение степеней этих чиселШаблон:Sfn.

Некоторые совпадения с числом $\pi$:

• первая подходящая дробь числа $\pi$, [3; 7] = 22/7 = 3,1428…, известна с времён Архимеда Шаблон:Sfn, и даёт точность около 0,04 %. Третья подходящая дробь, [3; 7, 15, 1] = 355/113 = 3,1415929…, которую нашёл Цзу Чунчжи Шаблон:Sfn, верна до шести десятичных знаковШаблон:Sfn. Эта высокая точность получается из-за того, что следующий член непрерывной дроби имеет необычно большое значение: $\pi$= [3; 7, 15, 1, 292, …]Шаблон:Sfn;
• совпадение, в котором участвует $\pi$ и золотое сечение φ, задаётся формулой $\pi \approx 4/\sqrt{\phi }=3,1446\dots$. Это соотношение связано с треугольником Кеплера; некоторые исследователи считают, что это совпадение найдено в пирамидах Гизы, но крайне невероятно, что оно является преднамереннымШаблон:Sfn;
• существует последовательность шести девяток, которая начинается с 762-й позиции десятичного представления числа $\pi$. Для случайно выбранного нормального числа вероятность любой выбранной последовательности шести цифр (например, 658 020) встречается редко в десятичном представлении, только 0,08 %. Есть гипотеза, что $\pi$ является нормальным числом, но это не доказано;
• $\frac{5}{6}\pi \approx {\phi }^2$; верно с точностью до 0,002 %.
• $\frac{7^7}{2^{18}}=3,141567230224609375\approx \pi$, верно с точностью до 0,0008%.

Совпадения с числом $e$:

• последовательность цифр «1828» повторяется дважды близко к началу десятичного представления числа $e$ = 2,7 1828 1828….; из этого вытекает совпадение $e\approx \frac{271801}{99990}$ с точностью до 0,00000001%.
• существует последовательность цифр «99 999 999» среди первых 500 тыс. знаков числа $e$.

Также широко используется совпадение $2^{10}=1024\approx 1000=10^3$, верное с точностью 2,4 %. Рациональное приближение $\frac{\log 10}{\log 2}\approx 3,3219\approx \frac{10}{3}$, или $2\approx 10^{3/10}$ совпадает с точностью до 0,3 %. Это совпадение используется в инженерных раcчётах для приближения удвоенной мощности как 3 децибела (фактическое значение равно 3,0103 dB — Шаблон:Не переведено 5), либо для перевода кибибайтов в килобайты Шаблон:SfnШаблон:Sfn. Это же совпадение можно переписать как $128=2^7\approx 5^3=125$ (исключаем общий множитель $2^3$, так что относительная погрешность остаётся той же самой, 2,4 %), что соответствует рациональному приближению $\frac{\log 5}{\log 2}\approx 2,3219\approx \frac{7}{3}$, или $2\approx 5^{3/7}$ (также в пределах 0,3 %). Это совпадение используется, например, для установки выдержки в камерах как приближение степеней двойки (128, 256, 512) в последовательности выдержек 125, 250, 500, и так далееШаблон:Sfn.

Совпадения с музыкальными интервалами

Совпадение $2^{19}\approx 3^{12}$, $\frac{\log 3}{\log 2}\approx 1,5849\dots \approx \frac{19}{12}$ обычно используется в музыке при настройке 7 полутонов равномерно темперированного строя в чистую квинту натурального строя: $2^{7/12}\approx 3/2;$, что совпадает с точностью до 0,1 %. Чистая квинта служит основой пифагорова строя и является наиболее распространённой системой в музыке. Из вытекающей аппроксимации${(3/2)}^{12}\approx 2^7$ следует, что квинтовый круг завершается на семь октав выше началаШаблон:Sfn.

Совпадение $\sqrt[12]{2}\sqrt[7]{5}=1,33333319\dots \approx \frac{4}{3}$ приводит к рациональной версии 12-TET ладов, как заметил Иоганн Кирнбергер.

Совпадение $\sqrt[8]{5}\sqrt[3]{35}=4,00000559\dots \approx 4$ приводит к рациональной версии темперации среднетонового строя на 1/4 коммы.

Совпадение $\sqrt[9]{0,6}\sqrt[28]{4,9}=0,99999999754\dots \approx 1$ ведёт к очень маленькому интервалу $2^9{3}^{-28}{5}^{37}{7}^{-18}$ (около миллицента).

Совпадение со степенью 2 приводит к тому, что три большие терции составляют октаву, ${(5/4)}^3\approx 2/1$. Это и другие похожие приближения в музыке называются диесами.

Числовые выражения

Выражения со степенями $\pi$:

• ${\pi }^2\approx 10$ с точностью около 1,3 % Это можно понять в терминах формулы дзета-функции $\zeta (2)={\pi }^2/6$, это совпадение использовалось при разработке логарифмических линеек, когда шкала начинается с $\pi$, а не с $\sqrt{10}$;
• ${\pi }^2\approx 227/23$ с точностью до 0,0004 %;
• ${\pi }^3\approx 31$ с точностью до 0,02 %;
• $\sqrt[5]{{\pi }^3+1}\approx 2$ с точностью до 0,004 %;
• $\pi \approx {(9^2+\frac{19^2}{22})}^{1/4}$ или $22{\pi }^4\approx 2143$ с точностью до 8 десятичных знаков;

$\sqrt[4]{\frac{2143}{22}}=3,1415926525\dots$;

$\sqrt[5]{306}=3,14155\dots$;

$\sqrt[6]{\frac{17305}{18}}=3,1415924\dots$;

$\sqrt[7]{\frac{21142}{7}}=3,14159\dots$;

$\sqrt[14]{\frac{100343883}{11}}=3,14159265359\dots$;

Некоторые правдоподобные связи выполняются с высокой степенью точности, но тем не менее остаются совпадениями. Примером служит:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\cos (2x)\prod _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\cos \left(\frac{x}{n}\right)\mathrm{d}x\approx \frac{\pi }{8}$.

Две стороны этого выражения отличаются лишь в 42-м десятичном знаке.

Выражения со степенями $\pi$ и $e$:

• ${\pi }^4+{\pi }^5\approx e^6$, с точностью 0,000 005 %;
• $\sqrt[4]{3^3{e}^{\pi }}$ очень близко к 5, точность около 0,008 %;
• $3^{\frac{\pi +e}{4}}$ очень близко к 5, точность около 0,000 538 %;
• $e^{\pi }-\pi \approx 19,99909998$ очень близко к 20, это совпадение эквивалентно $(\pi +20{)}^i=-0,9999999992\dots -i\cdot 0,000039\dots \approx -1$;
• ${\pi }^{3^2}/e^{2^3}=9,9998\dots \approx 10$.

Выражения с $\pi$, $e$ и 163:

• $163\cdot (\pi -e)\approx 69$ с точностью 0,0005 %];
• $\frac{163}{\ln 163}\approx 2^5$ с точностью 0,000004 %];
• Шаблон:Не переведено 5: $e^{\pi \sqrt{163}}\approx (2^6\cdot 10005{)}^3+744$, точность $2,9\cdot 10^{-28}\mathrm{\%}$, открытая в 1859 году Шарлем ЭрмитомШаблон:Sfn, не является необъяснимым случайным математическим совпадением, поскольку является следствием того, что 163 является числом Хегнера.

Выражение с логарифмами:

• $\ln 2\approx {\left(\frac{2}{5}\right)}^{\frac{2}{5}}$ (точность 0,00024 %).

В обсуждении парадокса дней рождения возникает число $\lambda =\frac{1}{365}(\genfrac{}{}{0ex}{}{23}{2})=\frac{253}{365}$, которое «забавно» равно $\ln (2)$ с точностью до 4 знаковШаблон:Sfn.

Числовые совпадения в физическом мире

Длина шести недель

Число секунд в шести неделях, или 42 днях, равно в точности 10! (факториал) секунд (так как $24=4!$, $42=6\cdot 7$ и $60^2=5\cdot 8\cdot 9\cdot 10$). Многие заметили это совпадение, в частности, число 42 имеет важное значение в романе Дугласа Адамса «Автостопом по галактике».

Скорость света

Скорость света (по определению) равна в точности Шаблон:Число м/с, очень близко к Шаблон:Число м/с. Это чисто совпадение, поскольку метр был первоначально определён как 1/Шаблон:Число расстояния между земным полюсом и экватором на уровне моря, длина земной окружности получилась около 2/15 световой секунды.

Гравитационное ускорение

Шаблон:См. также Не являясь константной, а зависящей от широты и долготы, числовое значение ускорение свободного падения на поверхности лежит между 9,74 и 9,87, что достаточно близко к 10. Это означает, что в результате второго закона Ньютона вес килограмма массы на земной поверхности Земли соответствует примерно 10 ньютонам приложено на объект силы Шаблон:Sfn.

Это совпадение на самом деле связано с вышеупомянутым совпадением квадрата $\pi$ с 10. Одно из ранних определений метра — длина маятника, период колебания которого равна двум секундам. Поскольку период полного колебания примерно задаётся формулой ниже, после алгебраических выкладок, получим, что гравитационная постоянная равна квадрату $\pi$

$T\approx 2\pi \sqrt{\frac{L}{g}}$

Когда было обнаружено, что длина окружности Земли очень близка Шаблон:Число метрам, определение метра было изменено, чтобы отразить этот факт, поскольку это был более объективный стандарт (гравитационная постоянная на поверхности Земли не постоянна). Это привело к увеличению длины метра чуть меньше чем на 1 %, что попадало в пределы экспериментальных ошибок измерения.

Ещё одно совпадение — что величина g, равная примерно 9,8 м/с², равна 1,03 светового года/год², что близко к 1. Это совпадение связано с фактом, что g близко к 10 в системе единиц СИ (м/с²), как упоминалось выше, вместе с фактами, что число секунд в году близко к численному значению c/10, где c — скорость света в м/с.

Константа Ридберга

Постоянная Ридберга, умноженная на скорость света и выраженная как частота, близка к $\frac{{\pi }^2}{3}\times 10^{15}$Гц:

$\underset{\_}{3,2898}41960364(17)\times 10^{15}$Гц $=R_{\mathrm{\infty }}c$ Шаблон:Sfn.

$\underset{\_}{3,2898}68133696\dots =\frac{{\pi }^2}{3}$

Постоянная тонкой структуры

Постоянная тонкой структуры $\alpha$ близка к $\frac{1}{137}$ и была гипотеза, что она в точности равна $\frac{1}{137}$.

$\alpha =\frac{1}{137,035999074\dots }$

Хотя это совпадение не столь строго, как некоторые выше, замечательно, что $\alpha$ является безразмерной константой, так что это совпадение не связано с используемой системой мер.

См. также

• Треугольник Кеплера#Математическое совпадение
• Формула Коидэ

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Книга
• Hardy, G. H. — A Mathematician’s Apology. — New York: Cambridge University Press, 1993, (ISBN 0-521-42706-1)
• Шаблон:MathWorld
• Various mathematical coincidences in the «Science & Math» section of futilitycloset.com
• Press, W. H., Seemingly Remarkable Mathematical Coincidences Are Easy to Generate