Скрученно удлинённая пятиугольная пирамида

Скру́ченно удлинённая пятиуго́льная пирами́да, или отсечённый икоса́эдр — один из многогранников Джонсона (J₁₁, по Залгаллеру — М₃+А₅).

Составлена из 16 граней: 15 правильных треугольников и 1 правильного пятиугольника. Пятиугольная грань окружена пятью треугольными; среди треугольных 5 граней окружены пятиугольной и двумя треугольными, другие 10 — тремя треугольными.

Имеет 25 рёбер одинаковой длины. 5 рёбер располагаются между пятиугольной и треугольной гранями, остальные 20 — между двумя треугольными.

У скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды 11 вершин. В 5 вершинах сходятся пятиугольная грань и три треугольных; в остальных 6 — пять треугольных.

Скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из правильной пятиугольной пирамиды (J₂) и правильной пятиугольной антипризмы, все рёбра у которых одинаковой длины, — приложив основание пирамиды к одному из оснований антипризмы.

Кроме того, скрученно удлинённую пятиугольную пирамиду можно получить из икосаэдра, отсекши от того пятиугольную пирамиду. Вершины полученного многогранника — 11 из 12 вершин икосаэдра, рёбра — 25 из 30 рёбер икосаэдра; отсюда ясно, что у скрученно удлинённой пятиугольной пирамиды тоже существуют описанная и полувписанная сферы, причём они совпадают с описанной и полувписанной сферами исходного икосаэдра.

Метрические характеристики

Если скрученно удлинённая пятиугольная пирамида имеет ребро длины $a$, её площадь поверхности и объём выражаются как

$S=\frac{1}{4}(15\sqrt{3}+\sqrt{25+10\sqrt{5}})a^2\approx 8,2156679a^2,$

$V=\frac{1}{24}(25+9\sqrt{5})a^3\approx 1,8801922a^3.$

Радиус описанной сферы (проходящей через все вершины многогранника) при этом будет равен

$R=\frac{1}{4}\sqrt{10+2\sqrt{5}}a\approx 0,9510565a;$

радиус полувписанной сферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

$\rho =\frac{1}{4}(1+\sqrt{5})a\approx 0,8090170a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld