Эллипсоидальные координаты

Эллипсоидальные координаты — трёхмерная ортогональная система координат $(\lambda ,\mu ,\nu )$, являющаяся обобщением двумерной эллиптической системы координат. Данная система координат основана на использовании софокусных поверхностей второго порядка.

Основные формулы

Декартовы координаты $(x,y,z)$ получаются из эллипсоидальных координат $(\lambda ,\mu ,\nu )$ при помощи уравнений

$x^2=\frac{(a^2+\lambda )(a^2+\mu )(a^2+\nu )}{(a^2-b^2)(a^2-c^2)},$

$y^2=\frac{(b^2+\lambda )(b^2+\mu )(b^2+\nu )}{(b^2-a^2)(b^2-c^2)},$

$z^2=\frac{(c^2+\lambda )(c^2+\mu )(c^2+\nu )}{(c^2-b^2)(c^2-a^2)},$

при этом на координаты накладываются ограничения

$-\lambda <c^2<-\mu <b^2<-\nu <a^2.$

Поверхности с постоянной $\lambda$ являются эллипсоидами:

$\frac{x^2}{a^2+\lambda }+\frac{y^2}{b^2+\lambda }+\frac{z^2}{c^2+\lambda }=1,$

Поверхности с постоянной $\mu$ являются однополостными гиперболоидами

$\frac{x^2}{a^2+\mu }+\frac{y^2}{b^2+\mu }+\frac{z^2}{c^2+\mu }=1,$

поскольку последнее слагаемое отрицательно, а поверхности с постоянной $\nu$ являются двуполостными гиперболоидами

$\frac{x^2}{a^2+\nu }+\frac{y^2}{b^2+\nu }+\frac{z^2}{c^2+\nu }=1,$

поскольку два последних слагаемых отрицательны.

При построении эллипсоидальных координат используются софокусные поверхности второго порядка.

Масштабные множители и дифференциальные операторы

Для краткости в уравнениях ниже введём функцию

$S(\sigma )\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}(a^2+\sigma )(b^2+\sigma )(c^2+\sigma ),$

где $\sigma$ может представлять любую из величин $(\lambda ,\mu ,\nu )$. Используя данную функцию, можем записать масштабные множители

$h_{\lambda }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}{S(\lambda )}},$

$h_{\mu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}{S(\mu )}},$

$h_{\nu }=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}{S(\nu )}}.$

Следовательно бесконечно малый элементарный объём запишется в виде

$dV=\frac{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )(\mu -\nu )}{8\sqrt{-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}d\lambda d\mu d\nu ,$

а лапласиан имеет вид

${\mathrm{\nabla }}^2\mathrm{\Phi }=\frac{4\sqrt{S(\lambda )}}{(\lambda -\mu )(\lambda -\nu )}\frac{\partial }{\partial \lambda }\left[\sqrt{S(\lambda )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \lambda }\right]+$

$+\frac{4\sqrt{S(\mu )}}{(\mu -\lambda )(\mu -\nu )}\frac{\partial }{\partial \mu }\left[\sqrt{S(\mu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \mu }\right]+\frac{4\sqrt{S(\nu )}}{(\nu -\lambda )(\nu -\mu )}\frac{\partial }{\partial \nu }\left[\sqrt{S(\nu )}\frac{\partial \mathrm{\Phi }}{\partial \nu }\right].$

Другие дифференциальные операторы, такие как $\mathrm{\nabla }\cdot 𝐅$ и $\mathrm{\nabla }\times 𝐅$, можно выразить в координатах $(\lambda ,\mu ,\nu )$ путём подстановки масштабных множителей в общие формулы для ортогональных координат.

См. также

• Фокалоид (оболочка, заданная двумя координатными поверхностями)

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Описание софокусных эллипсоидальных координат на MathWorld