Квазианалитическая функция

Квазианалити́ческие фу́нкции в математическом анализе — класс функций, которые, нестрого говоря, можно полностью реконструировать по их значениям на небольшом участке (например, на границе области). Такое свойство значительно облегчает решение дифференциальных уравнений и исследование других задач анализа. Поскольку это свойство выполняется для аналитических функций (см. Комплексный анализ), то класс квазианалитических функций содержит класс обычных аналитических функций и может рассматриваться как его расширениеШаблон:Sfn.

Определения

Функции одной переменной

Один из многих определяющих признаков аналитической функции: пусть функция $f(x)$ неограниченно дифференцируема во всех точках отрезка $[a,b]$ и пусть существует число $A$ (зависящее от функции) такое, что для всех точек $x\in [a,b]$ выполняется неравенство:

Шаблон:Формула

Тогда функция $f(x)$ аналитическая (обратная теорема также верна)Шаблон:Sfn.

Жак Адамар в 1912 году предложил обобщить приведенное неравенство, заменив последовательность $n!$ на последовательность общего вида $M=\{M_k{\}}_{k=0}^{\mathrm{\infty }}$ положительных вещественных чисел. Он определил на интервале [a,b] класс функций C^M([a,b]) следующим образом: Шаблон:Рамка Всякая функция $f$ из класса неограниченно дифференцируема (f ∈ C^∞([a,b])), причём во всех точках x ∈ [a,b] и для всех $k⩾0$ выполняется условие:

Шаблон:Формула

где A — некоторая константа (зависящая от функции). |}

Если взять последовательность M_k =1, то, согласно сказанному в начале раздела, мы получим в точности класс обычных вещественных аналитических функций на интервале [a,b].

Шаблон:Рамка Класс C^M([a,b]) называется квазианалитическим, если для всякой функции f ∈ C^M([a,b]) выполнено условие однозначности: если $\frac{d^{k}f}{d{x}^k}(x)=0$ в некоторой точке x ∈ [a,b] для всех k, то f тождественно равна нулю. |}

Элементы квазианалитического класса называются квазианалитическими функциями. Приведенное условие означает, что две функции, совпадающие в некоторой точке вместе со всеми своими производными, совпадают всюду. Другими словами, значения функции на произвольно малом участке полностью определяют все её значения.

Функции нескольких переменных

Для функции $f:{ℝ}^n\to ℝ$ и для набора индексов $j=(j_1,j_2,\dots ,j_n)\in {\mathbb{N}}^n$ обозначим:

$|j|=j_1+j_2+\dots +j_n$

$D^j=\frac{{\partial }^j}{\partial x_1^{j_1}\partial x_2^{j_2}\dots \partial x_n^{j_n}}$

$j!=j_1!j_2!\dots j_n!$

$x^j=x_1^{j_1}{x}_2^{j_2}\dots x_n^{j_n}.$

Тогда $f$ называется квазианалитической в открытой области $U\subset {ℝ}^n,$ если для каждого компактного $K\subset U$ существует константа $A$ такая, что:

$|D^{j}f(x)|⩽A^{|j|+1}j!M_{|j|}$

для всех индексов из набора $j\in {\mathbb{N}}^n$ и во всех точках $x\in K$.

Класс квазианалитических функций от $n$ переменных по отношению к последовательности $M$ на множестве $U$ можно обозначить $C_n^M(U)$, хотя в источниках встречаются и другие обозначения.

Квазианалитические классы для логарифмически выпуклых последовательностей

Предположим, что в приведенном выше определении $M_1=1$ и последовательность $M_k$ неубывающая. Эта последовательность называется логарифмически выпуклой, если выполняется условие:

Последовательность $\frac{M_{k+1}}{M_k}$ возрастает.

Если последовательность $M_k$ логарифмически выпукла, то:

$(M_k{)}^{1/k}$ также возрастает.

$M_r{M}_s⩽M_{r+s}$ для всех $(r,s)\in {\mathbb{N}}^2$.

Для логарифмически выпуклой $M$ квазианалитический класс $C_n^M$ представляет собой кольцо. В частности, он замкнут относительно умножения и композиции. Последнее означает:

Если $f=(f_1,f_2,\dots f_p)\in (C_n^M{)}^p$ и $g\in C_p^M$, то $g\circ f\in C_n^M$.

Теорема Данжуа — Карлемана

Теорема Данжуа — Карлемана была сформулирована и частично решена Арно Данжуа (Шаблон:Harvtxt) и полностью доказана в работе Торстена Карлемана (Шаблон:Harvtxt). Эта теорема предоставляет критерий для решения вопроса, при каких последовательностях M функции C^M([a,b]) образуют квазианалитический класс.

Согласно теореме, следующие утверждения равносильны:

• C^M([a,b]) — квазианалитический класс.
• $\sum 1/L_j=\mathrm{\infty },$ где $L_j=\underset{k\ge j}{\inf }(k\cdot M_k^{1/k})$.
• $\sum _j(j{M}_j^{*}{)}^{-1/j}=\mathrm{\infty },$ где M_j^* — наибольшая логарифмически выпуклая последовательность, ограниченная сверху M_j.
• $\sum _j\frac{M_{j-1}^{*}}{(j+1)M_j^{*}}=\mathrm{\infty }.$

Для доказательства того, что утверждения 3, 4 равносильны 2-му, используется неравенство Карлемана.

Пример: Шаблон:HarvtxtШаблон:Sfn указал, что если $M_n$ заданы одной из последовательностей

$1,{(\ln n)}^n,{(\ln n)}^n{(\ln \ln n)}^n,{(\ln n)}^n{(\ln \ln n)}^n{(\ln \ln \ln n)}^n,\dots ,$

то соответствующий класс квазианалитический. Первая последовательность (из единиц) дает обычные аналитические функции.

Дополнительные свойства

Для логарифмически выпуклой последовательности $M$ имеют место следующие свойства соответствующего класса функций.

• $C^M$ совпадает с классом аналитических функций тогда и только тогда, когда $\underset{j\ge 1}{\sup }(M_j{)}^{1/j}<\mathrm{\infty }$.
• Если $N$ — другая логарифмически выпуклая последовательность, у которой $M_j⩽C^j{N}_j$ (здесь $C$ — некоторая константа), то $C^M\subset C^N$.
• $C^M$ устойчиво по отношению к дифференцированию тогда и только тогда, когда $\underset{j\ge 1}{\sup }(M_{j+1}/M_j{)}^{1/j}<\mathrm{\infty }$.
• Для любой неограниченно дифференцируемой функции $f$ можно найти квазианалитические кольца $C^M$ и $C^N$ и элементы $g\in C^M,h\in C^N$ такие, что $f=g+h$.

Деление по Вейерштрассу

Определение. Функция $g:{ℝ}^n\to ℝ$ называется регулярной порядка $d$ по отношению к $x_n$, если $g(0,x_n)=h(x_n)x_n^d$ и $h(0)\ne 0$.

Пусть $g$ — регулярная функция порядка $d$ по отношению к $x_n$. Говорят, что кольцо $A_n$ вещественных или комплексных функций от $n$ переменных удовлетворяет делению Вейерштрасса по отношению к $g$, если для каждой $f\in A_n$ существуют $q\in A$ и $h_1,h_2,\dots ,h_{d-1}\in A_{n-1}$ такие, что:

$f=gq+h$, где $h(x^{\prime },x_n)=\sum _{j=0}^{d-1}{h}_j(x^{\prime })x_n^j$.

Пример: кольцо аналитических функций и кольцо формальных степенных рядов оба удовлетворяют свойству деления Вейерштрасса. Если, однако, $M$ логарифмически выпукло и $C^M$ не совпадает с классом аналитических функций, то $C^M$ не удовлетворяет свойству деления Вейерштрасса по отношению к $g(x_1,x_2,\dots ,x_n)=x_1+x_2^2$.

История

Ключевой вопрос данной темы — способность аналитической функции однозначно восстанавливать свой «глобальный облик» по значениям самой функции и её производных в произвольной регулярной точкеШаблон:Sfn. Эмиль Борель первым обнаружил, что это свойство имеет место не только для аналитических функций.

В 1912 году Жак Адамар сформулировал вопрос: какой должна быть последовательность $M_n,$ чтобы приведенное выше «условие однозначности» выполнялось для любой пары функций из соответствующего класса. Арно Данжуа в 1921 году привёл достаточные условия квазианалитичности и ряд примеров квазианалитичных классов (см. Шаблон:Harvtxt). Полное решение проблемы дал пять лет спустя Торстен Карлеман (см. Шаблон:Harvtxt), установивший необходимые и достаточные условия квазианалитичности.

В дальнейшем С. Н. Бернштейн и Ш. Мандельбройт обобщили понятие квазианалитичности на классы недифференцируемых и даже разрывных функций. Простейший пример — совокупность решений линейного дифференциального уравнения с непрерывными коэффициентами; функции, входящие в это решение, вообще говоря, не обладают бесконечным числом производныхШаблон:Sfn..

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Мандельбройт С. Примыкающие ряды, регуляризация последовательностей. Применения, пер. с франц., М.: Иностранная литература, 1955.
• Шаблон:Citation Шаблон:Ref-fr
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Citation