Гипотезы Поллока
Гипотезы По́ллока — серия гипотез о фигурных числах, которые выдвинул в 1850 году британский математик-любитель Фредерик Поллок[1]Шаблон:Sfn[2]. Эти гипотезы можно рассматривать как дополнение теоремы Ферма о многоугольных числах, в том числе расширение теоремы на случай пространственных фигурных чисел. По состоянию Шаблон:На доказаны только две из четырёх гипотез.
Первая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем девяти кубических чисел. Доказана в начале XX века. Обычно достаточно семи кубов, но 15 чисел (15, 22, 50, 114, 167, 175, 186, 212, 231, 238, 303, 364, 420, 428, 454)[3] требуют восьми, а двум числам (23 и 239) нужны все девять. Если, кроме сложения, допускать вычитание, то достаточно и пяти кубов[4] (возможно, что даже четырёх, но это пока не доказано)Шаблон:Sfn.
Вторая гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем одиннадцати центрированных девятиугольных чисел[5]. Была доказана в 2023 году[6].
Третья гипотеза Поллока: любое натуральное число есть сумма не более чем пяти тетраэдральных чисел[7]. До сих пор не доказана, хотя проверена для всех чисел, меньших 10 миллиардов. Обнаружено 241 число, для которых четырёх тетраэдральных чисел недостаточно (17, 27, 33, 52, 73, …)[8], скорее всего, последнее из них равно 343867[7].
Четвёртая гипотеза Поллока обобщает часть предыдущих: если — число вершин одного из пяти правильных многогранников (4, 6, 8, 12 или 20), то каждое натуральное число является суммой не более чем фигурных чисел, соответствующих этому многограннику, то есть[2]:
- (, тетраэдр) не более 5 тетраэдральных чисел;
- (, октаэдр) не более 7 октаэдральных чисел;
- (, куб) не более 9 кубических чисел;
- (, икосаэдр) не более 13 икосаэдральных чисел;
- (, додекаэдр) не более 21 додекаэдральных чисел.
- В случае октаэдральных чисел была доказана для всех достаточно больших чисел.