Теорема Ферма о многоугольных числах

Теорема Ферма о многоугольных числах утверждает, что любое натуральное число представимо как сумма не более $n$ $n$-угольных чисел.

Примеры

Примеры разбиения натуральных чисел от 1 до 30 в соответствии с теоремой Ферма:

Число	Сумма не более трёх треугольных чисел	Сумма не более четырёх квадратных чисел	Сумма не более пяти пятиугольных чисел
1	1	$1$	1
2	1 + 1	1 + 1	1 + 1
3	3	1 + 1 + 1	1 + 1 + 1
4	3 + 1	$2^2$	1 + 1 + 1 + 1
5	3 + 1 + 1	$2^2+1$	5
6	6	$2^2+1+1$	5 + 1
7	6 + 1	$2^2+1+1+1$	5 + 1 + 1
8	6 + 1 + 1	$2^2+2^2$	5 + 1 + 1 + 1
9	6 + 3	$3^2$	5 + 1 + 1 + 1 + 1
10	10	$3^2+1$	5 + 5
11	10 + 1	$3^2+1+1$	5 + 5 + 1
12	6 + 6	$2^2+2^2+2^2$	12
13	10 + 3	$3^2+2^2$	12 + 1
14	10 + 3 + 1	$3^2+2^2+1$	12 + 1 + 1
15	15	$3^2+2^2+1+1$	5 + 5 + 5
16	15 + 1	$4^2$	5 + 5 + 5 + 1
17	10 + 6 + 1	$4^2+1$	12 + 5
18	15 + 3	$3^2+3^2$	12 + 5 + 1
19	10 + 6 + 3	$3^2+3^2+1$	12 + 5 + 1 + 1
20	10 + 10	$4^2+2^2$	5 + 5 + 5 + 5
21	21	$4^2+2^2+1$	5 + 5 + 5 + 5 + 1
22	21 + 1	$3^2+3^2+2^2$	22
23	10 + 10 + 3	$3^2+3^2+2^2+1$	22 + 1
24	21 + 3	$4^2+2^2+2^2$	12 + 12
25	15 + 10	$5^2$	12 + 12 + 1
26	15 + 10 + 1	$5^2+1$	12 + 12 + 1 + 1
27	21 + 6	$5^2+1+1$	22 + 5
28	28	$5^2+1+1+1$	22 + 5 + 1
29	28 + 1	$5^2+2^2$	12 + 12 + 5
30	15 + 15	$5^2+2^2+1$	12 + 12 + 5 + 1

История

Теорема названа именем Пьера Ферма, который выдвинул это утверждение в 1638 году без доказательства, но обещал представить его в отдельной статье, которая так никогда и не появилась. В 1770 году Лагранж доказал эту теорему для квадратных чисел. Гаусс доказал теорему для треугольных чисел в 1796 году. Молодой Гаусс сопроводил свою находку записью в дневнике: «Эврика!» и опубликовал доказательство в книге Арифметические исследования. Этот результат Гаусса известен как «теорема эврика» Полностью теорему доказал Коши в 1813 году. .Последующие доказательства основаны на доказанных Коши леммах.

Частные случаи

Наиболее интересны квадратный $m=n^2$ и треугольный $m=\frac{n(n+1)}{2}$ случаи. Теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов вместе с теоремой Лежандра о трёх квадратах решают проблему Варинга для $n=2$. А в случае треугольных чисел замена квадрата на квадратный многочлен позволяет уменьшить необходимое число слагаемых.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld
• Шаблон:Citation. Содержит доказательство теоремы Лагранжа и теоремы о многоугольных числах.