Матрица масс

В аналитической механике матрица масс представляет собой симметричную матрицу M, которая выражает связь между производной по времени $\dot{q}$ вектора обобщённых координат q системы и кинетической энергией T этой системы по уравнению

$T=\frac{1}{2}{\dot{𝐪}}^{\mathsf{\text{T}}}𝐌\dot{𝐪}$

где ${\dot{𝐪}}^{\mathsf{\text{T}}}$ обозначает транспонирование вектора $\dot{𝐪}$. Это уравнение аналогично формуле для кинетической энергии частицы с массой $m$ и скоростью v, а именно

$T=\frac{1}{2}m|𝐯{|}^2=\frac{1}{2}𝐯\cdot m𝐯$

и может быть получено из неё, выражая положение каждой частицы системы через q.

В общем случае матрица масс М зависит от состояния q и поэтому изменяется со временем.

Лагранжева механика даёт обыкновенное дифференциальное уравнение (фактически, система связанных дифференциальных уравнений), которое описывает эволюцию системы в терминах произвольного вектора обобщённых координат, который полностью определяет положение каждой частицы в системе. Приведённая выше формула кинетической энергии является одним из членов этого уравнения, которое представляет общую кинетическую энергию всех частиц.

Примеры

Система масс в одном пространственном измерении.

Например, рассмотрим систему, состоящую из двух точечных масс, ограниченных прямой линией. Состояние этих систем может быть описано вектором q двух обобщённых координат, а именно положениями двух частиц вдоль линии.

$q={\left[\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\end{array}\right]}^{\mathsf{\text{T}}}$ ,

Предположим, что частицы имеют массы m₁, m₂, кинетическая энергия системы

$T=\sum _{i=1}^2\frac{1}{2}{m}_i{\dot{x_i}}^2$

Эта формула также может быть записана как

$T=\frac{1}{2}{\dot{q}}^{\mathsf{\text{T}}}M\dot{q}$

где

$M=\left[\begin{array}{cc}{m}_1& 0\\ 0& m_2\end{array}\right]$

Система N тел

В более общем случае рассмотрим систему из N частиц, помеченных индексами i = 1, 2,…, N, где положение частицы с номером i определяется n_i свободными декартовыми координатами (где n_i равно 1, 2 или 3). Пусть q будет вектором столбца, содержащим все эти координаты. Матрица масс M представляет собой диагональную блочную матрицу, где в каждом блоке диагональные элементы представляют собой массу соответствующей частицы:

$M=\mathrm{diag}[m_1{I}_{n_1},m_2{I}_{n_2},\dots ,m_N{I}_{n_N}]$

где I_{n i} — это единичная матрица n_i × n_i, или более полно:

$M=\left[\begin{array}{cccccccccc}{m}_1& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & m_1& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ 0& \cdots & 0& m_2& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & m_2& \cdots & 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & m_N& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 0& \cdots & 0& \cdots & 0& \cdots & m_N\end{array}\right]$

Вращающаяся гантель

Вращающаяся гантель.

В качестве менее тривиального примера рассмотрим два точечных объекта с массами m₁, m₂, прикреплённых к концам жесткого безмассового стержня длиной 2R, причём узел может свободно вращаться и скользить по фиксированной плоскости. Состояние системы можно описать обобщённым координатным вектором

$q=\left[\begin{array}{ccc}x& y& \alpha \end{array}\right]$

где х, у — декартовы координаты средней точки стержня и α представляет собой угол стержня от некоторого произвольного опорного направления. Положения и скорости двух частиц

$\begin{array}{cccc}{x}_1& =(x,y)+R(\cos \alpha ,\sin \alpha )& v_1& =(\dot{x},\dot{y})+R\dot{\alpha }(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\\ x_2& =(x,y)-R(\cos \alpha ,\sin \alpha )& v_2& =(\dot{x},\dot{y})-R\dot{\alpha }(-\sin \alpha ,\cos \alpha )\end{array}$

и их общая кинетическая энергия

$2T=m{\dot{x}}^2+m{\dot{y}}^2+m{R}^2{\dot{\alpha }}^2-2Rd\sin (\alpha )\dot{x}\dot{\alpha }+2Rd\cos (\alpha )\dot{y}\dot{\alpha }$

где $m=m_1+m_2$ и $d=m_1-m_2$. Эта формула может быть записана в виде матрицы

$T=\frac{1}{2}{\dot{q}}^{\mathsf{\text{T}}}M\dot{q}$

где

$M=\left[\begin{array}{ccc}m& 0& -Rd\sin \alpha \\ 0& m& Rd\cos \alpha \\ -Rd\sin \alpha & Rd\cos \alpha & R^{2}m\end{array}\right]$

Обратите внимание, что матрица зависит от текущего угла α стержня.

Механика сплошных сред

Для дискретных приближений механики сплошных сред, как в методе конечных элементов, может быть несколько способов построения матрицы масс, в зависимости от требуемой производительности вычислений и точности. Например, метод с сосредоточенными массами, в котором деформация каждого элемента игнорируется, создаёт диагональную матрицу масс и устраняет необходимость интегрировать массу по деформированному элементу.

См. также

• Момент инерции
• Тензор энергии-импульса
• Матрица жёсткости
• Scleronomous