Когомологии Дольбо

Когомологии Дольбо — аналог когомологий де Рама для комплексных многообразий. Названны в честь Пьера Дольбо.

Пусть M — комплексное многообразие. Тогда группы когомологий Дольбо $H^{p,q}(M,ℂ)$зависят от пары целых чисел p и q и строятся из комплексных дифференциальных форм степени (p, q).

Построение групп когомологий

Пусть Ω ^{p, q} — векторное расслоение комплексных дифференциальных форм степени (p,q) и

$\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q})\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1})$

— оператор Дольбо. Напомним, что

${\overline{\partial }}^2=0.$

Этот оператор можно использовать для определения когомологий. В частности, определите когомологии как фактор-пространство

$H^{p,q}(M,ℂ)=\ker (\overline{\partial }:\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q},M)\to \mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q+1},M))/\overline{\partial }\mathrm{\Gamma }({\mathrm{\Omega }}^{p,q-1}).$

Теорема Дольбо

Теорема Дольбо является комплексным аналогом теоремы де Рама. Она утвержадет, что когомологии Дольбо изоморфны когомологиям пучка пучка голоморфных дифференциальных форм. То есть

$H^{p,q}(M)\cong H^q(M,{\mathrm{\Omega }}^p)$

где ${\mathrm{\Omega }}^p$пучок голоморфных p-форм на M.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite journal