Комплексная дифференциальная форма

Комплексная дифференциальная форма — дифференциальная форма с комплексными коэффициентами, обычно рассматривается на комплексных многообразиях.

Определения

Предположим, что M — комплексное многообразие комплексной размерности n. Затем существует локальная система координат, состоящая из n комплекснозначных функций z ¹,...,z ⁿ, таких, что переходы координат от одного участка к другому являются голоморфными функциями этих переменных. Пространство комплексных форм имеет богатую структуру, в основном зависящую от того факта, что эти функции перехода являются голоморфными, а не просто гладкими.

Один-формы

Мы начнём с случая с 1-форм. Разложим комплексные координаты на их вещественную и мнимую части: z ^j =x ^j +iy ^j для каждого j. Положим

$d{z}^j=d{x}^j+id{y}^j,d{\overline{z}}^j=d{x}^j-id{y}^j.$

Отсюда видно, что любая дифференциальная 1-форма с комплексными коэффициентами может быть однозначно записана в виде суммы

$\sum _{j=1}^n(f_{j}d{z}^j+g_{j}d{\overline{z}}^j).$

Пусть Ω^1,0 — пространство комплексных дифференциальных форм, содержащих только $dz$s, а Ω ^0,1 — пространство форм, содержащих только $d\overline{z}$. Условия Коши — Римана дают, что пространства Ω ^1,0 и Ω ^0,1 устойчивы при голоморфных изменениях координат. То есть, для других координат w _i, элементы Ω^1,0 преобразуются тензорно, как и элементы Ω ^0,1. Таким образом, пространства Ω ^0,1 и Ω ^1,0 определяют комплексные векторные расслоения на комплексном многообразии.

Высшие степени

Внешнее произведение комплексных дифференциальных форм определяется так же, как и для вещественных форм. Пусть p и q — пара неотрицательных целых чисел ≤ n. Пространство Ω^p,q (p, q)-форм определяется путем взятия линейных комбинаций клиновых произведений p элементов из Ω ^1,0 и q элементов из Ω ^0,1. Как и в случае с 1-формами, они устойчивы при голоморфных изменениях координат и поэтому определяют векторные расслоения.

Если E ^k — пространство всех комплексных дифференциальных форм полной степени k, то каждый элемент E^k может быть выражен единственным способом в виде линейной комбинации элементов из числа пространств Ω ^{p, q} с p + q =k. То есть, существует прямое разложение суммы

$E^k={\mathrm{\Omega }}^{k,0}\oplus {\mathrm{\Omega }}^{k-1,1}\oplus \cdots \oplus {\mathrm{\Omega }}^{1,k-1}\oplus {\mathrm{\Omega }}^{0,k}=\underset{p+q=k}{⨁}{\mathrm{\Omega }}^{p,q}.$

Поскольку это разложение прямой суммы устойчиво при голоморфных изменениях координат, оно также определяет разложение векторного расслоения.

В частности, для каждого k и каждого p и q с p + q =k существует каноническая проекция векторных расслоений

${\pi }^{p,q}:E^k\to {\mathrm{\Omega }}^{p,q}.$

Операторы Дольбо

Обычная внешняя производная определяет отображение сечений $d:E^r\to E^{r+1}$. Используя d и проекции, определенные в предыдущем подразделе, можно определить операторы Дольбо:

$\partial ={\pi }^{p+1,q}\circ d:{\mathrm{\Omega }}^{p,q}\to {\mathrm{\Omega }}^{p+1,q},\overline{\partial }={\pi }^{p,q+1}\circ d:{\mathrm{\Omega }}^{p,q}\to {\mathrm{\Omega }}^{p,q+1}$

Опишем эти операторы в локальных координатах. Пусть

$\alpha =\sum _{|I|=p,|J|=q}{f}_{IJ}d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J\in {\mathrm{\Omega }}^{p,q}$

где I и J - мультииндексы. Тогда

$\partial \alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^{\ell }}d{z}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J$

$\overline{\partial }\alpha =\sum _{|I|,|J|}\sum _{\ell }\frac{\partial f_{IJ}}{\partial {\overline{z}}^{\ell }}d{\overline{z}}^{\ell }\wedge d{z}^I\wedge d{\overline{z}}^J.$

Заметим, что

$d=\partial +\overline{\partial }$

${\partial }^2={\overline{\partial }}^2=\partial \overline{\partial }+\overline{\partial }\partial =0.$

Эти операторы и их свойства используются при определении когомологий Дольбо и других аспектов теории Ходжа.

Голоморфные формы

Для каждого p голоморфная p-форма является голоморфным сечением расслоения Ω^p,0. Таким образом, в локальных координатах голоморфная p-форма может быть записана в виде

$\alpha =\sum _{|I|=p}{f}_{I}d{z}^I$

где $f_I$являются голоморфными функциями. Эквивалентно и из-за независимости комплексного сопряженного, (p, 0)-форма α голоморфна тогда и только тогда, когда

$\overline{\partial }\alpha =0.$

Пучок голоморфных p-форм часто пишется Ω^p, хотя иногда это может привести к путанице, поэтому многие авторы склонны использовать другие обозначения.

См. также

• Абелев дифференциал

Литература

• Шаблон:Книга