Релевантная логика

Релевантная логика, также называемая логика релевантности — является разновидностью неклассической логики, требующей, чтобы антецедент и консеквент импликаций были значимо взаимосвязаны. Такие логики могут рассматриваться, как семейство субструктурных логик или модальных логик. Обычно, но не повсеместно, британские и, особенно, австралийские логики называют её релевантной логикой, а американские логики — логикой релевантности.

Релевантная логика стремится охватить аспекты импликации, которые игнорируются оператором «материальной импликации» в классической Шаблон:Iw, а именно понятие релевантности между антецедентом и условием истинной импликации. Эта идея не нова: Шаблон:Iw создал модальную логику, и в частности Шаблон:Iw, на том основании, что классическая логика разрешает парадоксы материальной импликации, такие как принцип, согласно которому Шаблон:Iw. Следовательно, «если я осёл, то дважды два будет четыре» истинно, если перевести его как материальную импликацию, но интуитивно оно кажется ложным, поскольку истинная импликация должна связывать антецедент и консеквент каким-то понятием релевантности. А то, является ли говорящий ослом или нет, не имеет никакого отношения к тому, что дважды два равно четырём.

С точки зрения синтаксических ограничений для логики высказываний необходимо, но не достаточно, чтобы предпосылки и заключение имели общие атомарные формулы (формулы, не содержащие логических операций). В логике первого порядка, релевантность требует совместного использования переменных и констант между предпосылками и заключением. Такое требование можно обеспечить (наряду с более сильными условиями), например, наложив определенные ограничения на правила системы естественного вывода. В частности, естественная дедукция в стиле Фитча может быть адаптирована для учёта релевантности, путём введения меток, в конце каждой строки применения умозаключения, указывающих на предпосылки, релевантные заключению умозаключения. Исчисление секвенций в стиле Герхарда Гентцена могут быть модифицированы путём удаления правил ослабления, которые позволяют вводить произвольные формулы в правой или левой части секвенций.

Примечательной особенностью релевантной логики, является то, что она является паранепротиворечивой логикой: существование противоречия не приводит к «принципу взрыва». Это вытекает из того, что условие с противоречивым антецедентом, который не имеет общих пропозициональных или предикатных букв со следствием, не может быть истинным (или выводимым).

История

Релевантная логика была предложена в 1928 году советским философом Иваном Ефимовичем Орловым (1886—1936 гг.) в его строго математической работе «Исчисление совместности предложений», опубликованной в «Математическом сборнике». Основная идея релевантной импликации появляется в средневековой логике, а некоторые новаторские работы были сделаны Аккерманом, Мохом, и Чёрчем в 1950-х годах. С помощью американских учёных А. Р. Андерсона и Н. Д. Белнапа, концепция получила наиболее полное развитие в релевантной логике, которая была в суммированном образе представлена в их работе «Выведение следствий», в 1975-х годах (второй том был опубликован в девяностых годах). Они сосредоточились как на системах умозаключения, так и на системах релевантности, где импликации первого типа должны быть одновременно и релевантными, и в то же время необходимыми.

Аксиомы

Ранние исследования в области релевантной логики были сосредоточены на более сильных системах. Развитие семантики Рутли-Мейера привело к появлению целого ряда более слабых логик. Самой слабой из этих логик является логика релевантности B. Она представлена в виде ряда аксиом и правил.

1. $A\to A$
2. $A\wedge B\to A$
3. $A\wedge B\to B$
4. $(A\to B)\wedge (A\to C)\to (A\to B\wedge C)$
5. $A\to A\vee B$
6. $B\to A\vee B$
7. $(A\to C)\wedge (B\to C)\to (A\vee B\to C)$
8. $A\wedge (B\vee C)\to (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$
9. $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }A\to A$

Правила заключаются в следующем:

1. $A,A\to B⊢B$
2. $A,B⊢A\wedge B$
3. $A\to B⊢(C\to A)\to (C\to B)$
4. $A\to B⊢(B\to C)\to (A\to C)$
5. $A\to B⊢\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A$

Более сильные логические структуры могут быть получены с помощью добавления любой из следующих аксиом:

1. $(A\to B)\to (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)$
2. $(A\to B)\wedge (B\to C)\to (A\to C)$
3. $(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
4. $(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
5. $(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
6. $(A\wedge (A\to B))\to B$
7. $(A\to \mathrm{\neg }A)\to \mathrm{\neg }A$
8. $(A\to (B\to C))\to (B\to (A\to C))$
9. $A\to ((A\to B)\to B)$
10. $((A\to A)\to B)\to B$
11. $A\vee \mathrm{\neg }A$
12. $A\to (A\to A)$

Существуют некоторые известные логики, более сильные, чем B, которые могут быть получены посредством добавления аксиом к B следующим образом:

• Для DW добавьте аксиому 1.
• Для DJ добавьте аксиомы 1, 2.
• Для TW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4.
• Для RW добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 8, 9.
• Для T добавьте аксиомы 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11.
• Для R добавьте аксиомы 1-11.
• Для E добавьте аксиомы 1-7, 10, 11, $((A\to A)\wedge (B\to B)\to C)\to C$, и $◻A\wedge ◻B\to ◻(A\wedge B)$, где $◻A$ определяется как $(A\to A)\to A$.
• Для RM добавьте все дополнительные аксиомы.

Модели

Модели Рутли-Мейера

Стандартной теорией моделей для релевантной логики, является тернарно-реляционная семантика Рутли-Мейера, разработанная Ричардом Рутли и Робертом Мейером. Фрейм Рутли-Мейера F для предложенного языка — четвёрка (W,R,*,0), где W — непустое множество, R — троичное отношение на W, * — функция от W к W, и $0\in W$. Модель Рутли-Мейера M — фрейм Рутли-Мейера F вместе с определением $⊩$, которая присваивает каждому атомарному предложению значение истины, относительно каждой точки $a\in W$. На фреймы Ратли-Мейера накладываются некоторые условия. Опишем $a\le b$ как $R0ab$:

• $a\le a$.
• Если $a\le b$ и $b\le c$, то $a\le c$.
• Если $d\le a$ и $Rabc$, то $Rdbc$.
• $a^{**}=a$.
• Если $a\le b$, то $b^{*}\le a^{*}$.

Напишите $M,a⊩A$ и, $M,a⊮A$ чтобы указать, что формула $A$истинна или не истинна, соответственно, в точке $a$ в $M$.

Одним из последних условий в моделях Рутли-Мейера является условие наследственности:

• Если $M,a⊩p$ и $a\le b$, то $M,b⊩p$ для всех атомарных предложений $p$.

С помощью индуктивного аргумента можно доказать, что наследственность распространяется на сложные формулы, используя условия истинности, приведенные ниже:

• Если $M,a⊩A$ и $a\le b$, то $M,b⊩A$ для всех формул $A$.

Условия истинности для сложных формул следующие:

• $M,a⊩A\wedge B⟺M,a⊩A$ и $M,a⊩B$
• $M,a⊩A\vee B⟺M,a⊩A$ или $M,a⊩B$
• $M,a⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b,c((Rabc\wedge M,b⊩A)\Rightarrow M,c⊩B)$
• $M,a⊩\mathrm{\neg }A⟺M,a^{*}⊮A$

Формула $A$ имеет место в модели $M$ на всякий случай $M,0⊩A$. Формула $A$ выполняется для фрейма $F$, если $A$ выполняется в каждой модели $(F,⊩)$. Формула $A$ действительна в классе фреймов, если A выполняется для каждого фрейма в этом классе. Класс всех фреймов Ратли-Мейера, удовлетворяющих вышеуказанным условиям, подтверждает релевантную логику В. Можно получить фреймы Ратли-Мейера для других релевантных логик, наложив соответствующие ограничения на R и на *. Данные условия проще сформулировать, используя некоторые стандартные определения. Пусть $Rabcd$ будут определены, как $\mathrm{\exists }x(Rabx\wedge Rxcd)$, и пусть $Ra(bc)d$ будут определены, как $\mathrm{\exists }x(Rbcx\wedge Raxd)$. Ниже приведены некоторые из условий фрейма и аксиом, которые они подтверждают:

Имя	Условия фрейма	Аксиома
Псевдомодус поненс	$Raaa$	$(A\wedge (A\to B))\to B$
Префиксация	$Rabcd\Rightarrow Ra(bc)d$	$(A\to B)\to ((C\to A)\to (C\to B))$
Суффиксация	$Rabcd\Rightarrow Rb(ac)d$	$(A\to B)\to ((B\to C)\to (A\to C))$
Сокращение	$Rabc\Rightarrow Rabbc$	$(A\to (A\to B))\to (A\to B)$
Конъюнктивный силлогизм	$Rabc\Rightarrow Ra(ab)c$	$(A\to B)\wedge (B\to C)\to (A\to C)$
Утверждение	$Rabc\Rightarrow Rbac$	$A\to ((A\to B)\to B)$
Аксиома E	$Ra0a$	$((A\to A)\to B)\to B$
Аксиома смешения	$Rabc\Rightarrow a\le c$ или$b\le c$	$A\to (A\to A)$
Редукция	$Ra{a}^{*}a$	$(A\to \mathrm{\neg }A)\to \mathrm{\neg }A$
Противопоставление	$Rabc\Rightarrow Ra{c}^{*}{b}^{*}$	$(A\to B)\to (\mathrm{\neg }B\to \mathrm{\neg }A)$
Исключенный средний	$0^{*}\le 0$	$A\vee \mathrm{\neg }A$
Ослабление строгой импликации	$0\le a$	$A\to (B\to B)$
Ослабление	$Rabc\Rightarrow b\le c$	$A\to (B\to A)$

Последние два условия подтверждают формы ослабления, которые изначально разрабатывались для того, чтобы избежать нарушений релевантной логики. Данные правила включены, чтобы показать гибкость моделей Рутли-Мейера.

Операционные модели

Модели Уркхарта

Операционные модели для фрагментов релевантных и свободных от отрицания логик, были предложены Шаблон:Iw, в его докторской диссертации и в последующих работах. Интуитивная идея операциональных моделей заключается в том, что точки, в модели — части информации, и объединение информации, поддерживающей условие, с информацией, подтверждающей его антецедент, позволяет получить некоторую сумму информации, позволяющую определить следствие. Поскольку операционные модели, как правило, не интерпретируют отрицание, в этом разделе рассматриваются только те языки, в которых есть условие, конъюнкция и дизъюнкция.

Операционный фрейм $F$ — тройка $(K,\cdot ,0)$, где $K$ — непустое множество, $0\in K$, и $\cdot$ является бинарной операцией на $K$. Фреймы имеют условия, некоторые из которых могут быть опущены для моделирования различных логик. Для моделирования условной релевантной логики R, Уркхарт предложил следующие условия:

• $x\cdot x=x$
• $(x\cdot y)\cdot z=x\cdot (y\cdot z)$
• $x\cdot y=y\cdot x$
• $0\cdot x=x$

В этих условиях, операционный фрейм представляет собой объединенную полурешётку.

Операционная модель $M$ — фрейм $F$, с оценкой $V$, которая отображает пары точек и атомарных предложений в значения истины, T или F. $V$ Может быть расширена до оценки $⊩$ на сложные формулы, следующим образом:

• $M,a⊩p⟺V(a,p)=T$, для атомарных предложений
• $M,a⊩A\wedge B⟺M,a⊩A$ и $M,a⊩B$
• $M,a⊩A\vee B⟺M,a⊩A$ или $M,a⊩B$
• $M,a⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b(M,b⊩A\Rightarrow M,a\cdot b⊩B)$

Формула $A$ имеет место в модели $M$ если $M,0⊩A$. Формула $A$ действительна в классе моделей $C$, если она имеет продолжение в любой модели $M\in C$.

Условный фрагмент R является обоснованным и завершённым, относительно класса моделей полурешёток. Логика с конъюнкцией и дизъюнкцией, должным образом сильнее, чем условный, конъюнктивный, дизъюнктивный фрагмент R. В частности, формула $(A\to (B\vee C))\wedge (B\to C)\to (A\to C)$действительна для операционных моделей, но недействительна в R. Логика, сформированная операционными моделями для R, имеет полную аксиоматическую систему доказательства, созданную Шаблон:Iw и Джеральдом Чарлвудом. Чарлвуд также предложил систему естественного дедуктивного вывода для этой логики, которую доказал, как эквивалентную аксиоматической системе. Чарлвуд продемонстрировал, что его система естественного вывода является эквивалентной системе, предложенной Шаблон:Iw.

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условности E с помощью добавления непустого множества возможных вариантов пространств $W$ и отношения доступности $\le$ на $W\times W$ к фреймам. Отношение принадлежности должно быть рефлексивным и переходящим, чтобы выразить представление о том, что условие E имеет S4 необходимость. Далее, значения отображают тройки атомарных предложений, точек и пространств на истинные значения. Условие истинности для обусловленного значения изменяется на следующее:

• $M,a,w⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b,\mathrm{\forall }{w}^{\prime }\ge w(M,b,w^{\prime }⊩A\Rightarrow M,a\cdot b,w^{\prime }⊩B)$

Операционная семантика может быть адаптирована для моделирования условности T, путём добавления отношения $\le$ на $K\times K$. Это соотношение должно удовлетворять следующим условиям:

• $0\le x$
• Если $x\le y$ и $y\le z$, то $x\le z$
• Если $x\le y$, то $x\cdot z\le y\cdot z$

Условие истинности для данного условия изменяется на следующее:

• $M,a⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b((a\le b\wedge M,b⊩A)\Rightarrow M,a\cdot b⊩B)$

Существует два способа моделирования релевантной логики TW и RW без сокращений, с помощью операционных моделей. Первый способ состоит в том, чтобы отбросить условие, согласно которому $x\cdot x=x$. Второй способ состоит в том, чтобы сохранить условия полурешётки на фреймах и добавить бинарное выражение $J$ о рассогласованности фреймов. Согласно этим моделям, условия истинности для обусловленного изменяются на следующие, с добавлением порядкового отношения в случае TW:

• $M,a⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b((Jab\wedge M,b⊩A)\Rightarrow M,a\cdot b⊩B)$

Модели Хамберстоуна

Уркхарт продемонстрировал, что полурешётчатая логика для R соответствующим образом сильнее положительного фрагмента R. Ллойд Хамберстоун предоставил расширение операционных моделей, которое позволило использовать другое условие истинности для дизъюнкции. Полученный класс моделей в точности воспроизводит положительный фрагмент R.

Операционный фрейм $F$ представляет собой четвёрку $(K,\cdot ,+,0)$, где $K$ — непустое множество, $0\in K$, и {$\cdot$, $+$} — являются бинарными операциями над $K$. Пусть $a\le b$ определяется как $\mathrm{\exists }x(a+x=b)$. Условия фрейма следующие:Шаблон:Ordered listОперационная модель $M$ это фрейм $F$ с оценкой $V$, которая отображает пары точек и атомарных предложений в истинностные значения, T или F. $V$ Может быть расширена до оценки $⊩$ по сложным формулам следующим образом:

• $M,a⊩p⟺V(a,p)=T$, для атомарных предложений
• $M,a+b⊩p⟺M,a⊩p$ и $M,b⊩p$
• $M,a⊩A\wedge B⟺M,a⊩A$ и $M,a⊩B$
• $M,a⊩A\vee B⟺M,a⊩A$ или, $M,a⊩B$ или $\mathrm{\exists }b,c(a=b+c$; $M,b⊩A$и$M,c⊩B)$
• $M,a⊩A\to B⟺\mathrm{\forall }b(M,b⊩A\Rightarrow M,a\cdot b⊩B)$

Формула $A$ имеет место в модели $M$ если $M,0⊩A$. Формула $A$справедлива в классе моделей $C$ если она имеет место в каждой модели $M\in C$.

Позитивный фрагмент R является корректным и полным в отношении класса этих моделей. Семантика Хамберстоуна может быть адаптирована для моделирования различных логик путем исключения или добавления условий фрейма следующим образом:

Система	Условия фрейма
B	1, 5-9, 14	Шаблон:Ordered list
TW	1, 11, 12, 5-9, 14
EW	1, 10, 11, 5-9, 14
RW	1-3, 5-9
T	1, 11, 12, 13, 5-9, 14
E	1, 10, 11, 13, 5-9, 14
R	1-9
RW	1-3, 5-9, 15

Алгебраические модели

Некоторые релевантные логики могут быть заданы алгебраическими моделями, например, логика R. Алгебраическими структурами для R являются моноиды де Моргана, которые представляют собой секступлес $(D,\wedge ,\vee ,\mathrm{\neg },\circ ,e)$, где:

• $(D,\wedge ,\vee ,\mathrm{\neg })$ является распределительной решёткой с унарной операцией, $\mathrm{\neg }$подчиняющейся законам, $\mathrm{\neg }\mathrm{\neg }x=x$и если $x\le y$ тогда $\mathrm{\neg }y\le \mathrm{\neg }x$;
• $e\in D$, бинарная операция $\circ$является коммутативной ($x\circ y=y\circ x$) и ассоциативной ($(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$), и $e\circ x=x$, то есть $(D,\circ ,e)$ является абелевым моноидом с тождеством $e$;
• моноид упорядочен по решётке и удовлетворяет $x\circ (y\vee z)=(x\circ y)\vee (x\circ z)$;
• $x\le x\circ x$; и
• если $x\circ y\le z$, то $x\circ \mathrm{\neg }z\le \mathrm{\neg }y$.

Операция, $x\to y$ интерпретирующая условие R, определяется как $\mathrm{\neg }(x\circ \mathrm{\neg }y)$.

Моноид де Моргана — остаточная решётка, подчиняющаяся следующему условию остаточности:

$x\circ y\le z⟺x\le y\to z$

Интерпретация — $v$ это гомоморфизм от языка высказываний к моноиду де Моргана, $M$ такой, что:

• $v(p)\in D$ для всех атомарных предложений,
• $v(\mathrm{\neg }A)=\mathrm{\neg }v(A)$
• $v(A\vee B)=v(A)\vee v(B)$
• $v(A\wedge B)=v(A)\wedge v(B)$
• $v(A\to B)=v(A)\to v(B)$

Учитывая моноид де Моргана $M$ и интерпретацию $v$, можно сказать, что формула $A$ имеет место для $v$ только в случае $e\le v(A)$. Формула $A$ верна только в том случае, если она имеет место при любых интерпретациях на всех моноидах де Моргана. Логика R является обоснованной и полной для моноидов де Моргана.

См. также

• Коннексивная логика, иной подход к парадоксам материального подтекста
• Непоследовательность (Non sequitur)
• Шаблон:Iw

Литература

на английском

• Alan Ross Anderson, Nuel Belnap, 1975. Entailment: the logic of relevance and necessity, vol. I. Princeton University Press. Шаблон:Isbn
• Alan Ross Anderson, Nuel Belnap, and J. M. Dunn, 1992. Entailment: the logic of relevance and necessity, vol. II, Princeton University Press.
• Mares, Edwin, and Meyer, R. K., 2001, «Relevant Logics», in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
• Richard Routley, Val Plumwood, Robert K. Meyer, and Ross T. Brady. Relevant Logics and their Rivals. Ridgeview, 1982.
• R. Brady (ed.), Relevant Logics and their Rivals (Volume II), Aldershot: Ashgate, 2003.
• Шаблон:Cite journal
• Alasdair Urquhart. The Semantics of Entailment. PhD thesis, University of Pittsburgh, 1972.
• Katalin Bimbó, Relevance logics, in Philosophy of Logic, D. Jacquette (ed.), (volume 5 of Handbook of the Philosophy of Science, D. Gabbay, P. Thagard, J. Woods (eds.)), Elsevier (North-Holland), 2006, pp. 723–789.
• J. Michael Dunn and Greg Restall. Relevance logic. In Handbook of Philosophical Logic, Volume 6, F. Guenthner and D. Gabbay (eds.), Dordrecht: Kluwer, 2002, pp. 1–136.
• Stephen Read, Relevant Logic, Oxford: Blackwell, 1988.
• Шаблон:Cite journal

на русском

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Relevance logic — Дж. Майкл Данн и Грег Рестолл
• Relevant Logic — автор Стивен Рид