Соприкасающаяся окружность

Соприкасающаяся окружность

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́ — окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность имеют касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке $P$ кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через $P$ и две близкие к ней точки $P_1,P_2$, когда $P_1,P_2$ стремятся к $P$.

Связанные определения

• Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

  $r^{-1}=k$

• Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Координаты центра кривизны

Центр кривизны функции $y=f(x)$ в точке $(x_0,f(x_0))$ находится в следующей точке:

$(x_0-\frac{f^{\prime }(x_0)(1+(f^{\prime }(x_0){)}^2)}{f^{″}(x_0)},f(x_0)+\frac{1+(f^{\prime }(x_0){)}^2}{f^{″}(x_0)})$

Свойства

• Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.
• Инверсия соприкасающейся окружности есть соприкасающеяся окружность инверсии кривой в соответствующей точке.
• В вершинах кривой и только в них порядок касания соприкасающейся окружности превосходит 2.
• Теорема Тэйта — Кнезера утверждает, что если кривизна гладкой плоской кривой монотонна, то соприкасающиеся окружности этой кривой вложены друг в друга.

История

Понятие соприкасающейся окружности (Шаблон:Lang-la) было введено Лейбницем. Соответствующая геометрическая конструкция содержатся также в книге «Математические начала натуральной философии» Исаака Ньютона.

Вариации и обобщения

• Соприкасающаяся сфера пространственной кривой $\gamma$ есть сфера ${\mathrm{\Sigma }}_s$ с центром в точке

  $p(s)=\gamma (s)+\frac{1}{k(s)}\cdot \nu (s)-\frac{k^{\prime }(s)}{k^2(s)\cdot \varkappa (s)}\cdot \beta (s),$

проходящая через $\gamma (s)$. Здесь $k(s)$ и $\varkappa (s)$ обозначают кривизну и кручение кривой, $\tau$, $\nu$, $\beta$ — трёхгранник Френе.

• В случае, если кривизна и кручение кривой отличны от нуля, соприкасающаяся сфера определена и является единственной сферой, с которой кривая имеет степень соприкосновения хотя бы 3.