Простая функция

Проста́я фу́нкция — измеримая функция, принимающая конечное число значений.

Определение

Функция $f$ определённая на измеримом пространстве $(X,ℱ)$ называется простой, если существует разбиение $X$ на конечное число не пересекающихся измеримых множеств $A_1,\dots ,A_n$ и набор чисел $a_1,\dots ,a_n$ (обычно вещественных или комплексных) таких что $f(x)=a_i$ для любого $x\in A_i$.

Замечания

• Если $(X,ℱ)\equiv (\mathrm{\Omega },ℱ)$ — вероятностное пространство, то простая функция называется просто́й случа́йной величино́й.
• Если $(X,ℱ,\mu )$ — пространство с мерой, $f:X\to ℝ$ простая, причём

$f(x)=\sum _{i=1}^n{a}_i{\mathrm{𝟏}}_{A_i}(x),x\in X$ и $\mu (A_i)<\mathrm{\infty },\mathrm{\forall }i=1,\dots ,n$,

то $f$ интегрируема по Лебегу, и

$\underset{X}{\int }fd\mu =\sum _{i=1}^n{a}_i\mu (A_i)$.

Пример

Пусть $(X,ℱ,\mu )=(ℝ,ℬ(ℝ),m)$, где $ℬ(ℝ)$ — борелевская сигма-алгебра на $ℝ$, а $m$ — мера Лебега. Тогда функция

$f(x)=\{\begin{array}{cc}1,& 0<x<2\\ 0,& x=0\\ -1,& -2<x<0\end{array},x\in ℝ$

простая, ибо измерима и принимает три разных значения.

Литература

• Шаблон:Книга