Распределение Пуассона

Шаблон:Вероятностное распределение Распределе́ние Пуассо́на — распределение дискретного типа случайной величины, представляющей собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.

Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.

Определение

Выберем фиксированное число $\lambda >0$ и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:

$p(k)\equiv \mathbb{P}(Y=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$,

где

• $k$ — количество событий,
• $\lambda$ — математическое ожидание случайной величины (среднее количество событий за фиксированный промежуток времени),
• $k!$ обозначает факториал числа $k$,
• $e=2,718281828\dots$ — основание натурального логарифма.

Тот факт, что случайная величина $Y$ имеет распределение Пуассона с математическим ожиданием $\lambda$, записывается: $Y\sim \mathrm{P}(\lambda )$ или $Y\sim \mathrm{P}\mathrm{o}\mathrm{i}\mathrm{s}(\lambda )$.

Моменты

Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:

$E_Y(t)=e^{\lambda (e^t-1)}$,

откуда

$𝕄[Y]=\lambda$,

$𝔻[Y]=\lambda$.

Для момента $k$-го порядка справедлива общая формула:

$𝕄Y^k=\sum _{i=0}^k{\lambda }^i\left\{\begin{array}{c}k\\ i\end{array}\right\}$,

где $k=1,2,...$. Фигурные же скобки обозначают числа Стирлинга второго рода.

А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.

Свойства распределения Пуассона

• Сумма независимых пуассоновских случайных величин также имеет распределение Пуассона. Пусть $Y_i\sim \mathrm{P}({\lambda }_i),i=1,\dots ,n$. Тогда

$Y=\sum _{i=1}^n{Y}_i\sim \mathrm{P}\left(\sum _{i=1}^n{\lambda }_i\right)$.

• Пусть $Y_i\sim \mathrm{P}({\lambda }_i),i=1,2$, и $Y=Y_1+Y_2$. Тогда условное распределение $Y_1$ при условии, что $Y=y$, биномиально. Более точно:

$Y_1\mid Y=y\sim \mathrm{B}\mathrm{i}\mathrm{n}(y,\frac{{\lambda }_1}{{\lambda }_1+{\lambda }_2})$.

• C увеличением $\lambda$ распределение Пуассона стремится к распределению Гаусса со среднеквадратичным отклонением $\sigma =\sqrt{\lambda }$ и сдвигом $\lambda$. Чтобы доказать это, нужно применить формулу Стирлинга для факториала, а затем воспользоваться разложением в ряд Тейлора $\ln (\lambda /k{)}^k$ в окрестности $k=\lambda$ и тем, что в пределах пика распределения $\sqrt{k}\approx \sqrt{\lambda }$. Тогда получается

$p(k)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi \lambda }}\exp (-\frac{(k-\lambda {)}^2}{2\lambda })$

• Производящая функция распределения Пуассона выглядит так: $\exp \left[\lambda (z-1)\right]$

Асимптотическое стремление к распределению

Довольно часто в теории вероятностей рассматривают не само распределение Пуассона, а последовательность распределений, асимптотически равных ему. Более формально, рассматривают последовательность случайных величин ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$, принимающих целочисленные значения, такую что для всякого $k$ выполнено $P\{{\xi }_n=k\}\sim \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$ при $n\to \mathrm{\infty }$.

Простейшим примером является случай, когда ${\xi }_n$ имеет биномиальное распределение с вероятностью успеха $\frac{\lambda }{n}$ в каждом из $n$ испытаний.

Обратная связь с факториальными моментами

Рассмотрим последовательность случайных величин ${\xi }_1,{\xi }_2,\dots$, принимающих целые неотрицательные значения. Если ${\mu }_r({\xi }_n)\sim {\lambda }^r$ при $n\to \mathrm{\infty }$ и любом фиксированном $r$ (где ${\mu }_r({\xi }_n)$ — $r$-й факториальный момент), то для всякого $k$ при $n\to \mathrm{\infty }$ выполнено $P\{{\xi }_n=k\}\sim \frac{{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}$.

Как пример нетривиального следствия этой теоремы можно привести, например, асимптотическое стремление к $\mathrm{P}(\lambda )$ распределения количества изолированных рёбер (двухвершинных компонент связности) в случайном $n$-вершинном графе, где каждое из рёбер включается в граф с вероятностью $p_n\sim \frac{2\lambda }{n^2}$.

История

Работа Симеона Дени Пуассона «Исследования о вероятности приговоров в уголовных и гражданских делах»Шаблон:Sfn, в которой было введено данное распределение, была опубликована в 1837 году. Примеры других ситуаций, которые можно смоделировать, применив это распределение: поломки оборудования, длительность исполнения ремонтных работ стабильно работающим сотрудником, ошибка печати, рост колонии бактерий в чашке Петри, дефекты в длинной ленте или цепи, импульсы счётчика радиоактивного излучения, количество забиваемых футбольной командой голов и др.Шаблон:Sfn

См. также

• Биномиальное распределение
• Обобщенное распределение Пуассона на локально компактной абелевой группе

Литература

• Шаблон:Книга — С. 135.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:H Шаблон:Книга Шаблон:Cite web
• Шаблон:H Шаблон:Книга Шаблон:Wayback

Ссылки

• Распределение Пуассона — онлайн-калькулятор