Эллиптический фильтр

Эллиптический фильтр (фильтр Кауэра, или фильтр Золотарёва) — электронный фильтр, характерной особенностью которого являются пульсации амплитудно-частотной характеристики как в полосе пропускания, так и полосе подавления. Величина пульсаций в каждой из полос независима друг от друга. Другой отличительной особенностью такого фильтра является очень крутой спад амплитудной характеристики, поэтому с помощью этого фильтра можно достигать более эффективного разделения частот, чем с помощью других линейных фильтров. При цитировании важно помнить что в западной литературе называется исключительно фильтром Кауэра, в соответствии с первенством описания в работах по теории цепей и телефонии. Золотарев, ученик Чебышева, лишь развивал его теорию и не остался в истории связи за пределами России; телефония появится лишь незадолго до его смерти. Поэтому часто применяют компромиссный термин "эллиптический" фильтр.

Если пульсации в полосе подавления равны нулю, то эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода. Если пульсации равны нулю в полосе пропускания, то фильтр становится фильтром Чебышёва II рода. Если же пульсации отсутствуют на всей амплитудной характеристике, то фильтр становится фильтром Баттерворта.

Амплитудно-частотная характеристика эллиптического фильтра низких частот является функцией круговой частоты ω и задаётся следующим выражением:

$G_n(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2{R}_n^2(\xi ,\omega /{\omega }_0)}}$

где R_n — рациональная эллиптическая функция n-го порядка и

${\omega }_0$ — частота среза

$ϵ$ — показатель пульсаций (Шаблон:Lang-en)

$\xi$ — показатель селективности (Шаблон:Lang-en)

Значение показателя пульсаций определяет пульсации в полосе пропускания, пульсации же в полосе подавления зависят как от показателя пульсаций, так и от показателя селективности.

Свойства

АЧХ эллиптического фильтра низких частот четвёртого порядка с ε=0,5 и ξ=1,05. Также показано минимальный коэффициент передачи в полосе пропускания, максимальный коэффициент передачи в полосе подавления и переходная зона между частотами (нормированными) 1 и ξ

Переходная зона (увеличен масштаб по оси абсцисс).

• В полосе пропускания эллиптическая функция меняет значения от нуля до единицы. АЧХ в полосе пропускания, таким образом, варьирует от единицы до $1/\sqrt{1+{ϵ}^2}$.
• В полосе подавления эллиптическая функция меняет значения от бесконечности до значения $L_n$, которое определяется как:

$L_n=R_n(\xi ,\xi ).$

АЧХ в полосе подавления, таким образом, меняет значения от нуля до $1/\sqrt{1+{ϵ}^2{L}_n^2}.$

• Предельный случай $\xi \to \mathrm{\infty }$ превращает эллиптическую функцию в многочлен Чебышёва, и, таким образом, эллиптический фильтр становится фильтром Чебышёва I рода с показателем пульсаций $\epsilon .$
• Так как фильтр Баттерворта является предельным случаем фильтра Чебышёва, то при выполнении условий $\xi \to \mathrm{\infty },$ ${\omega }_0\to 0$ и $ϵ\to 0$ так что $ϵR_n(\xi ,1/{\omega }_0)=1$ эллиптический фильтр становится фильтром Баттерворта.
• Предельный случай $\xi \to \mathrm{\infty },$ $ϵ\to 0$ и ${\omega }_0\to 0$ так что $\xi {\omega }_0=1$ и $ϵL_n=\alpha$ превращает эллиптический фильтр в фильтр Чебышёва II рода с АЧХ:

$G(\omega )=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{{\alpha }^2{T}_n^2(1/\omega )}}}.$

Полюсы и нули

Логарифм модуля АЧХ эллиптического фильтра 8 порядка на плоскости комплексной частоты (s=σ+jω) с ε=0,5, ξ=1,05 и ${\omega }_0=1$. Белые пятна — полюса, тёмные — нули. Всего на графике 16 полюсов и 8 нулей второго порядка. На графике чёрный цвет соответствует усилению менее 0,0001, а белый — усилению более 10.

Переходная зона фильтра (увеличено).

Нули модуля АЧХ совпадают с полюсами дробно-рациональной эллиптической функции.

Полюса эллиптического фильтра могут быть определены так же, как и полюса фильтра Чебышёва I рода. Для простоты примем частоту среза равной единице. Полюса $({\omega }_{pm})$ эллиптического фильтра будут нулями знаменателя амплитудной характеристики. Используя комплексную частоту $s=\sigma +j\omega ,$ получим:

$1+{ϵ}^2{R}_n^2(-js,\xi )=0$

Пусть $-js=\mathrm{c}\mathrm{d}(w,1/\xi )$, где cd — эллиптическая косинус-функция Якоби. Тогда, используя определение эллиптической дробно-рациональной функции, получим:

$1+{ϵ}^2{\mathrm{c}\mathrm{d}}^2(\frac{nw{K}_n}{K},\frac{1}{L_n})=0$

где $K=K(1/\xi )$ and $K_n=K(1/L_n)$. Разрешив относительно w

$w=\frac{K}{n{K}_n}{\mathrm{c}\mathrm{d}}^{-1}(\frac{\pm j}{ϵ},\frac{1}{L_n})+\frac{mK}{n},$

где значения обратной cd-функции сделаны явными при помощи целого индекса m.

Полюса эллиптической функции в таком случае:

$s_{pm}=i\mathrm{c}\mathrm{d}(w,1/\xi ).$

Как и в случае многочленов Чебышёва, это можно выразить в явной комплексной форме

$s_{pm}=\frac{a+jb}{c},$

$a=-{\zeta }_n\sqrt{1-{\zeta }_n^2}\sqrt{1-x_m^2}\sqrt{1-x_m^2/{\xi }^2},$

$b=x_m\sqrt{1-{\zeta }_n^2(1-1/{\xi }^2)},$

$c=1-{\zeta }_n^2+x_i^2{\zeta }_n^2/{\xi }^2,$

где ${\zeta }_n$ — функция от $n,ϵ$, а $\xi$ и $x_m$ — нули эллиптической функции. Функция ${\zeta }_n$ определена для всех n в смысле эллиптической функции Якоби. Для порядков 1 и 2 имеем

${\zeta }_1=\frac{1}{\sqrt{1+{ϵ}^2}},$

${\zeta }_2=\frac{2}{(1+t)\sqrt{1+{ϵ}^2}+\sqrt{(1-t{)}^2+{ϵ}^2(1+t{)}^2}},$

где

$t=\frac{1}{\sqrt{1-1/{\xi }^2}}.$

Рекурсивные свойства эллиптических функций можно использовать для построения выражений более высокого порядка для ${\zeta }_n$:

${\zeta }_{m\cdot n}(\xi ,ϵ)={\zeta }_m(\xi ,\sqrt{\frac{1}{{\zeta }_n^2(L_m,ϵ)}-1}),$

где $L_m=R_m(\xi ,\xi ).$

Эллиптические фильтры с минимальной добротностью

Нормированные добротности для полюсов эллиптического фильтра восьмого порядка с ξ=1,1 как функции показателя пульсаций ε. Каждая кривая представляет четыре полюса, так как комплексно сопряжённые и противоположные по знаку пары полюсов имеют одинаковую добротность. Добротность всех полюсов имеет минимум при ε_Qmin=1/√L_n=0,02323…

См. Эллиптические фильтры обычно определяются путём задания определённой величины пульсаций в полосе пропускания, полосе подавления и крутизной амплитудной характеристики. Эти характеристики являются определяющими для задания минимального порядка фильтра. Другой подход к проектирования эллиптического фильтра заключается в определении чувствительности амплитудной характеристики аналогового фильтра к значениям его электронных компонент. Эта чувствительность обратно пропорциональна специальному показателю (добротности) полюсов передаточной функции фильтра. Добротностью полюса определяется как:

$Q=-\frac{|s_{pm}|}{2\mathrm{R}\mathrm{e}(s_{pm})}=-\frac{1}{2\cos (\arg (s_{pm}))}$

и является мерой влияния данного полюса на общую амплитудную характеристику. Для эллиптического фильтра заданного порядка существует связь между показателем пульсаций и фактором селективности, который минимизирует добротность всех полюсов передаточной функции:

${ϵ}_{Qmin}=\frac{1}{\sqrt{L_n(\xi )}}$

Это приводит к существованию фильтра, наименее чувствительного к изменению параметров компонент фильтра, однако при таком способе проектирования теряется возможность независимо назначать величину пульсаций в полосе пропускания и полосе подавления. Для таких фильтров при увеличении порядка пульсации как в полосе подавления, так и в полосе пропускания уменьшаются, а крутизна характеристики вокруг частоты среза увеличивается. При расчёте фильтра с минимальной добротностью необходимо учитывать, что порядок такого фильтра будет больше, чем при обычном методе расчёта. График модуля амплитудной характеристики будет выглядеть практически так же, как и раньше, однако полюса будут располагаться не по эллипсу, а по кругу, причём в отличие от фильтра Баттерворта, полюса которого также располагаются по кругу, расстояние между ними будет неодинаковым, а на мнимой оси будут располагаться нули.

Сравнение с другими линейными фильтрами

Сравнение амплитудно-частотных характеристик фильтров 5-го порядка: Баттерворта, Чебышёва 1-го и 2-го типов и эллиптического

На рисунке представлены графики амплитудно-частотных характеристик некоторых наиболее распространённых линейных электронных фильтров 5-го порядка.

Как следует из графиков, эллиптический фильтр имеет наибольшую крутизну характеристики, однако он также обладает самыми большими пульсациями как в полосе пропускания, так и в полосе подавления.

См. также

• Цифровая обработка сигналов
• Цифровая обработка изображений
• Электронный фильтр
• Решётчатый фильтр
• БИХ-фильтр

Библиография

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Расчет эллиптического фильтра с примерами
• Фильтры нижних частот
• Расчёт рекурсивных фильтров
• Сравнение линейных фильтровШаблон:Ref-en