Дробь (математика)

$8/13$		$\frac{8}{13}$	числитель
числитель	знаменатель		знаменатель
Две записи одной дроби

Дробь в арифметике — число, состоящее из одной или нескольких равных частей (долей) единицыШаблон:Sfn.

В математике используется несколько обобщённое определение, различающее два типа дробей.

1. Обыкновенные дробиШаблон:Переход вида $\frac{m}{n}$, где $m$ целое, $n$ натуральное. В отличие от арифметического определения, такая дробь может иметь знак минус.
2. Запись (не обязательно дробных) чисел в позиционных системах счисления. Наиболее известны десятичные дробиШаблон:Переход, удобные для людей, и двоичные дроби, которые используются для расчётов на компьютерах.

В математической записи дроби вида $m/n$ или $\frac{m}{n}$ число перед (над) чертой называется числителем, а число после черты (под чертой) — знаменателем (произведено от слова знаменовать, т. е. ‘обозначать, указывать, каковы доли’). Первый выступает в роли делимого, второй — делителя.

В общей алгебре обыкновенные дроби образуют поле, называемое полем рациональных чисел.

Виды дробей

Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби 3/4

Обыкновенная (или простая) дробь — запись числа в виде $\frac{m}{n}$ или $m/n,$ где $m$ — целое, а $n$ — натуральное число. Горизонтальная [называется винкулум] или косая [солидус] черта обозначает знак деления, в результате которого получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

• ½,
• 1/2 (такая наклонная черта называется «слеш»),
• $1^{}{/}_2$ (такая наклонная черта называется «солидус»Шаблон:Sfn),
• выключная формула: $\frac{1}{2}$,
• строчная формула: $\frac{1}{2}$.

Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, у которой модуль числителя больше модуля знаменателя или равен ему, называется неправильной и представляет собой число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{8}$ и $\frac{1}{2}$ — правильные, в то время как $\frac{5}{3}$, $\frac{8}{7}$, $\frac{2}{1}$ и $\frac{1}{1}$ — неправильные. Всякое, отличное от нуля, целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем $1$.

Смешанные числа

Число, записанное в виде натурального числа и правильной дроби, называется смешанным числом (или смешанной дробью) и понимается как сумма этого натурального числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанного числа (с добавлением спереди знака «минус» для отрицательных чисел). В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, $2\frac{3}{7}=2+\frac{3}{7}=\frac{14}{7}+\frac{3}{7}=\frac{17}{7}$.

Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

$\frac{1}{2}/\frac{1}{3}$ или $\frac{1/2}{1/3}$ или $\frac{12\frac{3}{4}}{26}$.

Вообще говоря, знак дроби в таком обобщённом смысле применяется не только для дробей, но и для компактного обозначения деления, причём даже не только целых чисел, но и любых действительных и комплексных чисел, функций, многочленов и тому подобных операндов различных операций деления.

Десятичные дроби

Шаблон:Main Десятичной дробью называют позиционную запись дроби, в которой знаменатель не дан в явном виде, но понимается как целое число, степень десяти (напр. 100, 1000 и др). Она выглядит следующим образом (знак $+$ вне арифметических выражений обычно опускается):

$\pm a_1{a}_2\dots a_n,b_1{b}_2\dots$

Часть записи, которая стоит до запятой, в случае неотрицательной дроби является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Всякую обыкновенную дробь можно преобразовать в десятичную, которая в этом случае либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.

Пример: десятичная дробь $3,1415926$ в формате обыкновенной дроби равна $\frac{31415926}{10000000}$.

Десятичные дроби с бесконечным числом цифр справа от десятичного разделителя представляют собой бесконечный ряд. Например, 1/3 = 0,333… представляет собой бесконечный ряд 3/10 + 3/100 + 3/1000 + …

Десятичные дроби также могут быть выражены в экспоненциальном представлении с отрицательными показателями, например запись 6,023 × 10⁻⁷, означает 0,0000006023 (умножение на $10^{-7}$, или, что то же, деление на $10^7,$ перемещает знак запятой на 7 разрядов влево).

Другой вид дроби представляет собой процент (Шаблон:Lang-la — «на сто»), представленный символом %, в которой подразумеваемый знаменатель всегда равен 100. Таким образом, 51 % означает 51/100. Проценты больше 100 или меньше нуля обрабатываются таким же образом, например, 311 % равняется 311/100, а −27 % равняется −27/100.

Схожее понятие промилле или частей на тысячу подразумевает знаменатель 1000. Распространенным обозначением частей на миллион является (Шаблон:Lang-en — ppm), Например 75 ppm, означает, что пропорция составляет 75 / 1000000.

Международная система единиц

Международное обозначение	Русское	Система СИ
ppm	млн−1; 1:106	микро (мк)
ppb	млрд−1; 1:109	нано (н)
ppt	трлн−1; 1:1012	пико (п)
ppquad	квадрлн−1; 1:1015	фемто (ф)

Вообще говоря, для позиционной записи числа́ можно использовать не только десятичную систему счисления, но и другие (в том числе и специфические, такие, как фибоначчиева).

Значение дроби и основное свойство дроби

Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Если умножить числитель и знаменатель дроби на одинаковую величину:

$\frac{P}{R}=\frac{C\cdot P}{C\cdot R}$

то значение дроби останется прежним, хотя дроби — разные. Например:

$\frac{3}{4}=\frac{9}{12}=\frac{12}{16}$

И обратно, если числитель и знаменатель заданной дроби имеют общий делитель, то обе части можно разделить на него; такая операция называется сокращением дроби. Пример:

$\frac{12}{16}=\frac{12:4}{16:4}=\frac{3}{4}$ — здесь числитель и знаменатель дроби сократили на общий делитель $4$.

Несократимой называется дробь, числитель и знаменатель которой взаимно просты, то есть не имеют общих делителей, кроме $\pm 1.$

Для десятичной дроби запись почти всегда однозначна, кроме случаев окончания записи бесконечной последовательностью либо только нулей (которые можно опустить), либо только девяток. Например:

$0,999...=1$ — две разные записи дроби соответствуют одному числу;

$2,13999...=2,14$.

Действия с дробями

В этом разделе рассматриваются действия над обыкновенными дробями. О действиях над десятичными дробями см. Десятичная дробь.

Приведение к общему знаменателю

Для сравнения, сложения и вычитания дробей их следует преобразовать (привести) к виду с одним и тем же знаменателем. Пусть даны две дроби: $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$. Порядок действий:

• Находим наименьшее общее кратное знаменателей: $M=[b,d]$.
• Умножаем числитель и знаменатель первой дроби на $M/b$.
• Умножаем числитель и знаменатель второй дроби на $M/d$.

После этого знаменатели обеих дробей совпадают (равны $M$). Вместо наименьшего общего кратного можно в простых случаях взять в качестве $M$ любое другое общее кратное, например, произведение знаменателей. Пример см. ниже в разделе Сравнение.

Сравнение

Чтобы сравнить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю и сравнить числители получившихся дробей. Дробь с бо́льшим числителем будет больше.

Пример. Сравниваем $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$. $\mathrm{H}\mathrm{O}\mathrm{K}(4,5)=20$. Приводим дроби к знаменателю $20$.

$\frac{3}{4}=\frac{15}{20};\frac{4}{5}=\frac{16}{20}$

Следовательно, $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$.

Другой способ. Сравним дополнения дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{4}{5}$ до единицы, то есть сравним $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{5}$. Поскольку $\frac{1}{4}>\frac{1}{5}$, так как $4<5$, выводим, что $\frac{3}{4}<\frac{4}{5}$.

Сложение и вычитание

Сумма обыкновенных дробей с одинаковым знаменателем есть дробь с тем же знаменателем и с числителем, равным сумме числителей данных дробей.

Чтобы сложить две обыкновенные дроби, следует привести их к общему знаменателю. Затем сложить числители, а знаменатель оставить без изменений:

Пример 1: $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ = $\frac{3}{6}$ + $\frac{2}{6}$ = $\frac{5}{6}$

НОК знаменателей (здесь $2$ и $3$) равно $6$. Приводим дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю $6$, для этого числитель и знаменатель надо умножить на $3$.
Получилось $\frac{3}{6}$. Приводим дробь $\frac{1}{3}$ к тому же знаменателю, для этого числитель и знаменатель надо умножить на $2$. Получилось $\frac{2}{6}$.
Чтобы получить разность дробей, их также надо привести к общему знаменателю, а затем вычесть числители, знаменатель при этом оставить без изменений:

$\frac{1}{2}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{2}{4}$ — $\frac{1}{4}$ = $\frac{1}{4}$

НОК знаменателей (здесь $2$ и $4$) равно $4$. Приводим дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю $4$, для этого надо числитель и знаменатель умножить на $2$. Получаем $\frac{2}{4}$.

Пример 2: $\frac{3}{5}+\frac{2}{7}=\frac{3\cdot 7}{5\cdot 7}+\frac{2\cdot 5}{7\cdot 5}=\frac{21}{35}+\frac{10}{35}=\frac{31}{35}$

Умножение и деление

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно перемножить их числители и знаменатели:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}.$

В частности, чтобы умножить дробь на натуральное число, надо числитель умножить на число, а знаменатель оставить тем же:

$\frac{2}{3}\cdot 3=\frac{6}{3}=2$

В общем случае, числитель и знаменатель результирующей дроби могут не быть взаимно простыми, и может потребоваться сокращение дроби, например:

$\frac{5}{8}\cdot \frac{2}{5}=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}.$

Определим обратную дробь для дроби $\frac{a}{b}$ как дробь $\frac{b}{a}$ (здесь $a,b\ne 0$). Тогда, согласно определению умножения, произведение дроби на обратную к ней равно 1:

$\frac{a}{b}\cdot \frac{b}{a}=\frac{ab}{ab}=1$

Чтобы поделить одну обыкновенную дробь на другую, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй:

$\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\cdot \frac{d}{c}=\frac{ad}{bc},b,c,d\ne 0.$

Например:

$\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{1}=\frac{3}{2}.$

Возведение в степень и извлечение корня

Чтобы возвести дробь в степень, необходимо возвести её числитель и знаменатель в эту же степень:

${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n},b\ne 0.$

Пример:

${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

Чтобы извлечь корень из дроби, необходимо извлечь соответствующий корень из числителя и знаменателя:

$\sqrt[n]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}},b\ne 0.$

Пример:

$\sqrt[3]{\frac{64}{125}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{125}}=\frac{4}{5}.$

Преобразование между разными форматами записи

Шаблон:Основная статья Чтобы преобразовать обыкновенную дробь в дробь десятичную, следует разделить числитель на знаменатель. Результат может иметь конечное число десятичных знаков, но может быть и бесконечной периодической дробью. Примеры:

$\frac{1}{2}=\frac{5}{10}=0,5$

$\frac{1}{7}=0,142857142857142857\dots =0,(142857)$ — бесконечно повторяющийся период принято записывать в круглых скобках.

Чтобы преобразовать десятичную дробь с конечным числом десятичных знаков в дробь обыкновенную, следует представить её дробную часть в виде натурального числа, делённого на соответствующую степень 10. Затем к результату приписывается целая часть со знаком, формируя смешанную дробь. Пример:

$71,1475=71+\frac{1475}{10000}=71\frac{1475}{10000}=71\frac{59}{400}$

Бесконечная десятичная дробь, вообще говоря, не может быть точно представлена как обыкновенная. Исключением являются периодические десятичные дроби, для которых такое представление всегда возможноШаблон:Sfn.

Пример (см. также Преобразование периодической десятичной дроби в обыкновенную). Преобразуем периодическую дробь $1,3(142857)=1,3142857142857142857\dots$ в обыкновенную дробь. $1,3(142857)=1,3+0,1\cdot 0,(142857).$ Обозначим $x=0,(142857)$, тогда $1000000\cdot x=142857+x,$ откуда: $999999x=142857,$ или: $x=\frac{142857}{999999}=\frac{1}{7}.$ В итоге получаем: $1,3(142857)=1,3+0,1x=1,3+0,1\cdot \frac{1}{7}.=\frac{13}{10}+\frac{1}{70}=\frac{92}{70}=1\frac{11}{35}.$

История и этимология термина

Русский термин дробь, как и его аналоги в других языках, происходит от Шаблон:Lang-lat, который, в свою очередь, является переводом арабского термина с тем же значением: ломать, раздроблять. Фундамент теории обыкновенных дробей заложили греческие и индийские математики. Марокканский учёный аль-Хасар впервые использовал современное символьное обозначение с горизонтальной чертой. Через арабов термин, в переводе на латинский, перешёл в Европу, он упоминается уже у Фибоначчи (1202 год). Слова числитель и знаменатель ввёл в оборот греческий математик Максим Плануд.

Дроби вычислялись ещё в Древнем Египте. До наших дней сохранились математические источники о египетских дробях: Математический папирус Ринда (ок. 1650 год до н. э.)Шаблон:Sfn, Египетский математический кожаный свиток (XVII век до н. э.)Шаблон:Sfn, Московский математический папирус (ок. 1850 год до н. э.), Шаблон:Не переведено (ок. 1950 год до н. э.)Шаблон:Sfn.

В Китае обыкновенные дроби встречаются в труде «Математика в девяти книгах» (X—II в до н. э.), отредактированной во II в до н. э. финансовым чиновником Чжан Цаном . Десятичные дроби впервые встречаются в Китае примерно с III века н. э. при вычислениях на счётной доске (суаньпань). В письменных источниках десятичные дроби ещё некоторое время изображали в традиционном (не позиционном) формате, но постепенно позиционная система вытеснила традиционнуюШаблон:Sfn.

Персидский математик и астроном Джамшид Гияс-ад-дин аль-Каши (1380—1429) в трактате «Ключ арифметики» (1427 г.) объявил себя изобретателем десятичных дробей, хотя они встречались уже в трудах аль-Уклидиси, жившего на пять веков раньшеШаблон:Sfn.

Поначалу европейские математики оперировали только с обыкновенными дробями, а в астрономии — с шестидесятеричными. Современное обозначение обыкновенных дробей происходит из Древней Индии — вначале его позаимствовали арабы, а затем, в XII-XVI веках, — европейцы. Вначале в дробях не использовалась дробная черта: числа $\frac{1}{4},2\frac{1}{5}$ записывались таким способом: $\begin{array}{c}1\\ 4\end{array},\begin{array}{c}2\\ \mathrm{I}\\ 5\end{array}.$ Использование черты дроби стало постоянным лишь около 300 лет назад. В Европе первым учёным, который использовал и распространял индийскую систему счёта (известную как «арабские цифры»), в том числе способ записи дробей, стал итальянский купец, путешественник, сын городского писаря — Фибоначчи (Леонардо Пизанский)Шаблон:Sfn. Полноценная теория обыкновенных дробей и действий с ними сложилась в XVI веке (Тарталья, Клавиус).

В Европе первые десятичные дроби ввёл Иммануил Бонфис около 1350 года, но широкое распространение они получили только после появления сочинения Симона Стевина «Десятая» (1585). Стевин записывал десятичные дроби сложными способами: например, число 42,53 записывалось как $\stackrel{0}{4}2\stackrel{1}{5}\stackrel{2}{3}$ или 42 ⓪ 5 ① 3 ②, где 0 в круге или над строкой означал целую часть, 1 — десятые, 2 — сотые, и так далее. Запятую для отделения целой части стали использовать с XVII векаШаблон:Sfn.

На Руси дроби называли долями. В первых российских учебниках математики — в XVII веке — дроби назывались ломаными числамиШаблон:Sfn. Термин дробь, как аналог латинского fractura, используется в «Арифметике» Магницкого (1703) как для обыкновенных, так и для десятичных дробей.

Обобщения

• Кольцо частных
• Рациональная функция — дробь, составленная из многочленов.

См. также

• Дроби в Юникоде
• Цепная дробь
• Египетские дроби

Литература

На русском:

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

На английском:

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web