Теорема Лагранжа об обращении рядов

Теорема Лагранжа об обращении рядов позволяет явно записать обратную функцию к данной аналитической функции в виде бесконечного ряда. Теорема имеет приложения в комбинаторике.

Формулировка

Пусть функция $f(z)$ аналитична в точке $z_0$ и $f^{\prime }(z_0)\ne 0$. Тогда в некоторой окрестности точки $w_0=f(z_0)$ обратная к ней функция $f^{-1}(w)$ представима рядом вида

$f^{-1}(w)=z_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}{\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)}^n\right)|}_{z=z_0}(w-w_0{)}^n.$

Применения

Ряд Бюрмана — Лагранжа

Ряд Бюрмана — Лагранжа определяется как разложение голоморфной функции $f(z)$ по степеням другой голоморфной функции $w(z)$ и представляет собой обобщение ряда Тейлора.

Пусть $f(z)$ и $w(z)$ голоморфны в окрестности некоторой точки $a\in ℂ$, притом $w(a)=0$ и $a$ — простой нуль функции $w(z)$. Теперь выберем некую область $D\ni a$, в которой $f$ и $w$ голоморфны, а $w$ однолистна в $\bar{D}$. Тогда имеет место разложение вида:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{d}_n{w}^n(z),$

где коэффициенты $d_n$ вычисляются по следующему выражению:

$d_n=\frac{1}{2\pi i}\underset{\partial D}{\int }\frac{f(\zeta )w^{\prime }(\zeta )}{w^{n+1}(\zeta )}d\zeta =\frac{1}{n!}\underset{z\to a}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}\{f^{\prime }(z)\frac{(z-a{)}^n}{w^n(z)}\}.$

Теорема об обращении рядов

Частным случаем применения рядов является так называемая задача об обращении ряда Тейлора.

Рассмотрим разложение вида $w=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$. Попытаемся с помощью полученного выражения вычислить коэффициенты ряда $z=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{w}^n$:

$b_n=\frac{1}{n!}\underset{z\to 0}{\lim }\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}{\left(\frac{z}{w}\right)}^n.$

Обобщения

В условиях теоремы для суперпозиции вида $F\circ f^{-1}$ справедливо представление в виде ряда

$F(f^{-1}(w))=z_0+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n!}{\left(\frac{d^{n-1}}{d{z}^{n-1}}(F^{\prime }(z){\left(\frac{z-z_0}{f(z)-w_0}\right)}^n)\right)|}_{z=z_0}(w-w_0{)}^n.$

Литература

• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Bürmann-Lagrange seriesШаблон:Ref-en