Методы интегрирования

Точное нахождение первообразной (или интеграла) произвольных функций — процедура более сложная, чем «дифференцирование», то есть нахождение производной. Зачастую, выразить интеграл в элементарных функциях невозможно.

Непосредственное интегрирование

Непосредственное интегрирование — метод, при котором интеграл, путём тождественных преобразований подынтегральной функции (или выражения) и применения свойств интеграла, приводится к одному или нескольким интегралам элементарных функций.

Метод замены переменной (метод подстановки)

Метод интегрирования подстановкой заключается в введении новой переменной интегрирования. При этом, заданный интеграл приводится к интегралу элементарной функции, или к нему сводящемуся.

Общих методов подбора подстановок не существует — умение правильно определить подстановку приобретается практикой.

Пусть требуется вычислить интеграл $\int F(x)dx.$ Сделаем подстановку $x=\phi (t),$ где $\phi (t)$ — функция, имеющая непрерывную производную.

Тогда $dx={\phi }^{\prime }(t)\cdot dt$ и на основании свойства инвариантности формулы интегрирования неопределенного интеграла получаем формулу интегрирования подстановкой:

$\int F(x)dx=\int F(\phi (t))\cdot {\phi }^{\prime }(t)dt.$

Этот метод также называют методом подведения под знак дифференциала и записывают следующим образом: функция вида $v(u(x))$ интегрируется следующим образом:

$\int v(u(x))dx=\int v(u(x))\frac{d(u(x))}{d(u(x))/dx}=\int v(u(x))\frac{d(u(x))}{u{\text{'}}_x}.$

Пример: Найти $\int x\sqrt{x-3}dx$

Решение: Пусть $\sqrt{x-3}=t$, тогда $x-3=t^2,x=3+t^2,dx=2tdt$.

$\int x\sqrt{x-3}dx=\int (t^2+3)t\cdot 2tdt=2\int (t^4+3t^2)dt=2\int t^{4}dt+6\int t^{2}dt=\frac{2}{5}{t}^5+\frac{6}{3}{t}^3+C=\frac{2}{5}{\sqrt{x-3}}^5+2{\sqrt{x-3}}^3+C$

Вообще различные подстановки часто используются для вычисления интегралов, содержащих радикалы. Другим примером может служить подстановка Абеля

$t=\frac{d(\sqrt{x^2+px+q})}{dx},$

применяемая для вычисления интегралов вида

$\int \frac{dx}{(x^2+px+q{)}^{\frac{m}{2}}},$

где m натуральное число. Иногда применяются подстановки Эйлера. См. также об интегрировании дифференциального бинома ниже.

Интегрирование некоторых тригонометрических функций

Пусть требуется проинтегрировать выражение $R(\sin x,\cos x)$, где R является рациональной функцией от двух переменных. Такой интеграл удобно вычислять методом подстановки:

• если $R(-\sin x,\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\cos x$;
• если $R(\sin x,-\cos x)=-R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\sin x$;
• если $R(-\sin x,-\cos x)=R(\sin x,\cos x)$, то применяется подстановка $t=\mathrm{tg}x$.

Частный случай этого правила:

$\int {\sin }^{m}x\cdot {\cos }^{n}x\cdot dx$

Выбор подстановки производится следующим образом:

• если Шаблон:Math нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку $\cos x=t$;
• если Шаблон:Math нечётное и положительное — удобнее сделать подстановку $\sin x=t$;
• если же и Шаблон:Math, и Шаблон:Math чётные — удобнее сделать подстановку $\mathrm{tg}x=t$.

Пример: $I=\int {\sin }^{2}x\cdot \cos x\cdot dx$.

Решение: Пусть $\sin x=t$; тогда $\cos x\cdot dx=dt$ и $I=\int t^{2}dt=\frac{t^3}{3}+C=\frac{{\sin }^{3}x}{3}+C$, где C — любая константа.

Интегрирование дифференциального бинома

Шаблон:Main Для вычисления интеграла от дифференциального бинома

$I=\int x^m(a+b{x}^n{)}^{p}dx,$

где a, b — действительные числа, a m, n, p — рациональные числа, также применяется метод подстановки в следующих трёх случаях:

• $p$ — целое число. Используется подстановка $x=t^k$, $k$ — общий знаменатель дробей $m$ и $n$;
• $\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a+b{x}^n=t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.
• $p+\frac{m+1}{n}$ — целое число. Используется подстановка $a{x}^{-n}+b=t^s$, $s$ — знаменатель дроби $p$.

В остальных случаях, как показал П. Л. Чебышёв в 1853 году, этот интеграл не выражается в элементарных функциях.

Интегрирование по частям

Шаблон:Main Интегрирование по частям — применение следующей формулы для интегрирования:

$\int u\cdot dv=u\cdot v-\int v\cdot du.$

Или:

$\int u\cdot v^{\prime }\cdot dx=u\cdot v-\int v\cdot u^{\prime }\cdot dx.$

В частности, с помощью Шаблон:Math-кратного применения этой формулы находится интеграл

$\int P_{n+1}(x)e^{x}dx,$

где $P_{n+1}(x)$ — многочлен $(n+1)$-й степени.

Пример: Найти интеграл $\int x\cdot \ln xdx$.

Решение: Чтобы найти данный интеграл применим метод интегрирования по частям, для этого будем полагать, что $u=\ln x\Rightarrow du=\frac{dx}{x}$ и $dv=xdx\Rightarrow \int dv=\int xdx\Rightarrow v=\frac{x^2}{2}$, тогда согласно формуле интегрирования по частям получаем $\int x\cdot \ln xdx=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{1}{2}\int x^2\cdot \frac{dx}{x}=\frac{x^2\ln x}{2}-\frac{x^2}{4}+C$

Интегрирование рациональных дробей

Шаблон:Main Неопределенный интеграл от любой рациональной дроби на всяком промежутке, на котором знаменатель дроби не обращается в ноль, существует и выражается через элементарные функции, а именно он является алгебраической суммой суперпозиции рациональных дробей, арктангенсов и рациональных логарифмов.

Сам метод заключается в разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Всякую правильную рациональную дробь $\frac{P(x)}{Q(x)}$, знаменатель которой разложен на множители

$Q(x)=\prod _{i=1}^n(x-x_i{)}^{k_i}\cdot \prod _{j=1}^m(x^2+p_{j}x+q_j{)}^{s_j}$

можно представить (и притом единственным образом) в виде следующей суммы простейших дробей:

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{k_i}\frac{A_{ij}}{(x-x_i{)}^j}+\sum _{l=1}^m\sum _{t=1}^{s_m}\frac{{\alpha }_{lt}+{\beta }_{lt}x}{(x^2+p_{l}x+q_l{)}^t}$

где $A_{ij},{\alpha }_{lt},{\beta }_{lt}$ — некоторые действительные коэффициенты, обычно вычисляемые с помощью метода неопределённых коэффициентов.

Пример: $\int \frac{2x+3}{x^2-9}dx.$

Решение: Разложим подынтегральное выражение на простейшие дроби:

$\frac{2x+3}{x^2-9}=\frac{2x+3}{(x-3)(x+3)}=\frac{\alpha }{(x-3)}+\frac{\beta }{(x+3)}$

Сгруппируем слагаемые и приравняем коэффициенты при членах с одинаковыми степенями:

$\alpha (x+3)+\beta (x-3)=2x+3$

$(\alpha +\beta )x+3\alpha -3\beta =2x+3$

Следовательно $\{\begin{array}{c}\alpha +\beta =2\\ 3\alpha -3\beta =3\end{array},\{\begin{array}{c}\alpha =\frac{3}{2}\\ \beta =\frac{1}{2}\end{array}$

Тогда

$\frac{2x+3}{x^2-9}=\frac{\frac{3}{2}}{x-3}+\frac{\frac{1}{2}}{x+3}$

Теперь легко вычислить исходный интеграл $\int \frac{2x+3}{x^2-9}dx=\frac{3}{2}\int \frac{dx}{x-3}+\frac{1}{2}\int \frac{dx}{x+3}=\frac{3}{2}\ln |x-3|+\frac{1}{2}\ln |x+3|+C=\frac{1}{2}\ln |(x-3{)}^3(x+3)|+C$

Интегрирование элементарных функций

Шаблон:Main Для нахождения первообразной от элементарной функций в виде элементарной функции (или определения того, что первообразная не является элементарной) был разработан алгоритм Риша. Он полностью или частично реализован во многих системах компьютерной алгебры.

Интегрирование рациональных функций от квадратного трехчлена под корнем

Для взятия интегралов вида $\int {}^{}R(x,\sqrt[]{a{x}^2+bx+c})dx$ можно использовать подстановки эйлера с помощью которых данный интеграл, станет интегралом от рациональной функции. Но так-же возможно использовать подстановку тригонометрических функций. Суть метода заключается в преобразовании интеграла вида $\int {}^{}R(x,\sqrt[]{a{x}^2+bx+c})dx$ к интегралу вида $\int R(\sin (t),\cos (t))dt$ с дальнейшим интегрированием.

Путём выделения полного квадрата получаем:

$a{x}^2+bx+c=\pm a(x-p{)}^2+q$

Где:

$a,p,q,b,c\in ℝ$

Обозначив $x-p=𝓏$

Можем получить следущие три интеграла:

1. $\underset{}{\overset{}{\int }}R(z,\sqrt{{\xi }^2-z^2})dz$
2. $\int R(z,\sqrt{{\xi }^2+z^2})dz$
3. $\underset{}{\overset{}{\int }}R(z,\sqrt[]{z^2-{\xi }^2})dz$

$\xi \in ℝ$

Для первого интеграла используем подстановку:

$z=\xi \sin (t)\Rightarrow dz=\xi \cos (t)dt$

$\sqrt{{\xi }^2-{\xi }^2{\sin }^2(t)}=\xi \cos (t)$ или:

$z=\xi cost\Rightarrow dz=-\xi sin(t)dt$

$\sqrt{{\xi }^2-{\xi }^2{\cos }^2(t)}=\xi sin(t)$

И так приходим к интегралу вида:

$\int R(\sin (t),\cos (t))dt$

Для второго интеграла используем подстановку:

$z=\xi \tan (t)\Rightarrow dz=\frac{\xi dt}{{\cos }^2(t)}$

$\sqrt{{\xi }^2+z^2}=\sqrt{{\xi }^2+{\xi }^2{\tan }^2(t)}=\frac{\xi }{\cos (t)}$

И снова приходим к интегралу:

$\int R(\sin (t),\cos (t))dt$

Для третьего интеграла используется подстановка:

$z=\frac{\xi }{cos(t)}\Rightarrow dz=\frac{\xi sin(t)}{{\cos }^2(t)}dt$

$\sqrt{z^2-{\xi }^2}=\sqrt{\frac{{\xi }^2}{{\cos }^2(t)}-{\xi }^2}=\xi \sqrt{\frac{1}{co{s}^2(t)}-1}=\xi \tan (t)$

И в итоге получается интеграл:

$\int R(\sin (t),\cos (t))dt$

См. также

• Символьное интегрирование
• Формулы Фруллани
• Универсальная тригонометрическая подстановка
• Подстановки Эйлера

Ссылки

• Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн с помощью системы Mathematica
• Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн
• Онлайн Калькулятор Интегралов