Уравнение Власова

Уравнение Власова — кинетическое уравнение для функции распределения частиц плазмы, описывающее их динамику в электромагнитных полях посредством самосогласованного поля. Впервые предложено А. А. Власовым в статье и позднее излагается в монографии.

Проблемы газокинетического подхода

В своей работе Власов сначала указывает на неприменимость газокинетического подхода, основанного на уравнении Больцмана (предполагается, что интеграл столкновений зависит только от парных столкновений), к описанию динамики плазмы с кулоновским взаимодействием. Он отмечает следующие проблемы, возникающие при попытке применения теории, основанной на парных столкновениях, к описанию плазмы:

1. приближение парных столкновений не согласуется с исследованиями Рэлея и Ленгмюра и Тонкса, которые предсказали и исследовали ленгмюровские волны в электронной газовой плазме.
2. приближение парных столкновений формально не применимо к кулоновскому взаимодействию из-за расходимости полного сечения рассеивания.
3. приближение парных столкновений не позволяет объяснить эксперименты Меррилла и Вебба об аномальном рассеянии электронов в газовой плазме.

В качестве причины возникновения этих проблем Власов указывает на дальнодействующий характер кулоновских сил, что приводит к взаимодействию каждой из частиц с совокупностью других частиц. Дальнодействие в этом случае означает, что радиус влияния этой силы больше чем среднее расстояние между частицами.

Уравнения Власова — Максвелла

Власов изначально рассматривал систему общих уравнений плазмы, включающих три компоненты (электроны, ионы и нейтральные атомы), и записывал уравнение Больцмана для s-ой компоненты плазмы в виде

$\frac{\partial f_s}{\partial t}+{\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}}_{𝐫}\overrightarrow{v}{f}_s+\frac{e_s}{m_s}(\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}[\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}]){\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}}_{𝐯}{f}_s={\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]}_{s1}^{st}+{\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]}_{s2}^{st}+{\left[\frac{\partial f_s}{\partial t}\right]}_{s3}^{st}.$

где $f_s(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t)$ — функция распределения. Эта система уравнений включала также уравнения Максвелла, и уравнения для заряда и тока, выраженные через функции распределения $f_s$. Так как Власов интересовался только волновыми решениями, то он пренебрёг вкладами интегралов столкновений, поскольку по оценкам выходило, что частоты плазменных волн много больше частот парных столкновений частиц в плазме. То есть вместо описания взаимодействия заряженных частиц в плазме посредством столкновений, предложил использовать самосогласованное поле, созданное заряженными частицами плазмы для описания длиннодействующего потенциала. Вместо уравнения Больцмана Власов предлагает использовать следующую систему уравнений для описания заряженных компонент плазмы (электронов с функцией распределений $f_e(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t)$ и положительных ионов с функцией распределения $f_i(\overrightarrow{r},\overrightarrow{p},t)$):

$\frac{\partial f_e}{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial f_e}{\partial \overrightarrow{x}}-e(\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}[\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}])\frac{\partial f_e}{\partial \overrightarrow{p}}=0$

$\frac{\partial f_i}{\partial t}+\overrightarrow{v}\frac{\partial f_i}{\partial \overrightarrow{x}}+e(\overrightarrow{E}+\frac{1}{c}[\overrightarrow{v},\overrightarrow{B}])\frac{\partial f_i}{\partial \overrightarrow{p}}=0$

$\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{B}=\frac{4\pi \overrightarrow{j}}{c}+\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{E}}{\partial t},\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}\overrightarrow{E}=-\frac{1}{c}\frac{\partial \overrightarrow{B}}{\partial t}$

$\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{E}=4\pi \rho ,\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}\overrightarrow{B}=0$

$\rho =e\int (f_i-f_e)d^3\overrightarrow{p},\overrightarrow{j}=e\int (f_i-f_e)\overrightarrow{v}{d}^3\overrightarrow{p}$

Здесь $e$ — заряд электрона, $c$ — скорость света, $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{r},t)$ и $\overrightarrow{B}(\overrightarrow{r},t)$ — самосогласованные электрическое и магнитное поля, созданные в точке $\overrightarrow{r}$ в момент времени $t$ всеми заряженными частицами плазмы. Существенное отличие этой системы уравнений от уравнений движения заряженных частиц во внешнем электромагнитном поле в том, что само самосогласованное электромагнитное поле сложным образом зависит от функций распределения ионов и электронов.

Уравнения Власова — Пуассона

Уравнения Власова — Максвелла являются системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений. Если флуктуации функций распределения относительно равновесного состояния невелики, эта система уравнений может быть линеаризована. Линеаризация даст систему уравнений Власова — Пуассона, описывающую динамику плазмы в самосогласованном электростатическом поле. Уравнения Власова — Пуассона являются системой уравнений Власова для каждой компоненты плазмы (рассматриваем нерелятивистский предел):

$\frac{\partial f_{\alpha }}{\partial t}+\overrightarrow{v}\cdot \frac{\partial f_{\alpha }}{\partial \overrightarrow{x}}+\frac{q_{\alpha }\overrightarrow{E}}{m_{\alpha }}\cdot \frac{\partial f_{\alpha }}{\partial \overrightarrow{v}}=0,$

и уравнения Пуассона для самосогласованного электрического поля:

$\mathrm{\nabla }\cdot \overrightarrow{E}=-\mathrm{\Delta }\varphi =4\pi \rho .$

Здесь $q_{\alpha }$ — электрический заряд и $m_{\alpha }$ — масса частиц плазмы, $\overrightarrow{E}(\overrightarrow{x},t)$ — самосогласованное электрическое поле, $\varphi (\overrightarrow{x},t)$ — потенциал самосогласованного электрического поля и $\rho$ — плотность электрического заряда.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга — Подробное обсуждение уравнений Власова.
• Шаблон:Статья