Тождество Эйлера (комплексный анализ)

Экспоненциальная функция e^z может быть определена как предел последовательности Шаблон:Nowrap, при N стремящемся к бесконечности, и поэтому e^iπ есть предел Шаблон:Nowrap. На каждом кадре этой анимации изображены числа Шаблон:Nowrap, где k пробегает от 0 до N, а N принимает различные возрастающие значения от 1 до 100.

Тождество Эйлера — частный случай формулы Эйлера при $x=\pi$Шаблон:Переход, известное тождество, связывающее три фундаментальные математические константы:

$e^{i\pi }=-1,$

где

$e$ — число е, или основание натурального логарифма,

$i$ — мнимая единица,

$\pi$ — пи, отношение длины окружности к её диаметру.

Тождество Эйлера названо в честь швейцарского, немецкого и российского математика Леонарда ЭйлераШаблон:Переход. Тождество считается образцом математической красотыШаблон:Переход, поскольку показывает глубокую связь между самыми фундаментальными числами в математике.

Вывод

Тождество Эйлера — это особый случай формулы Эйлера из комплексного анализа:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$

для любого вещественного $x$. (Заметим, что аргументы тригонометрических функций $\sin$ и $\cos$ взяты в радианах). В частности

$e^{i\pi }=\cos \pi +i\sin \pi .$

А из того, что

$\cos \pi =-1$

и

$\sin \pi =0,$

следует

$e^{i\pi }=-1$

что даёт тождество:

$e^{i\pi }+1=0.$

Обобщения

Тождество Эйлера также является частным случаем более общего тождества: сумма корней из единицы $n$-ой степени при $n>1$ равна $0$:

$\sum _{k=0}^{n-1}{e}^{2\pi i\frac{k}{n}}=0.$

Тождество Эйлера — это случай, когда $n=2$.

В другой области математики, используя возведение в степень кватерниона, можно показать, что подобное тождество также применимо к кватернионам. Пусть Шаблон:Math} — базисные элементы; тогда

$e^{\frac{1}{\sqrt{3}}(i\pm j\pm k)\pi }+1=0.$

В общем случае, если даны вещественные Шаблон:Math, Шаблон:Math, и Шаблон:Math такие, что Шаблон:Math, то

$e^{(a_{1}i+a_{2}j+a_{3}k)\pi }+1=0.$

Для октонионов, с вещественным Шаблон:Math таким, что Шаблон:Math, и с базисными элементами октонионов Шаблон:Math},

$e^{(a_1{i}_1+a_2{i}_2+\dots +a_7{i}_7)\pi }+1=0.$

Математическая красота

Тождество Эйлера, объединяющее три основные математические операции (сложение, умножение и возведение в степень) и пять фундаментальных математических констант, принадлежащих к четырём классическим областям математики (числа $0$ и $1$ относятся к арифметике, мнимая единица $i$ — к алгебре, число $\pi$ — к геометрии, а число e — к математическому анализу), произвело глубокое впечатление на научный мир, мистически истолковывалось как символ единства математики, и часто приводится как пример глубокой математической красоты.

Тождество Эйлера вызвало множество восторженных отзывов.

• Карл Фридрих Гаусс говорил, что если эта формула сразу не очевидна для студента, то он никогда не превратится в первоклассного математика.
• Профессор математики, натурфилософии и астрономии Гарвардского университета Бенджамин Пирс после доказательства на лекции тождества Эйлера заявил, что «это, наверное, правда, но она абсолютно парадоксальна; мы не можем понять её, и мы не знаем, что она значит, но мы доказали её, и поэтому мы знаем, что она должна быть достоверной».
• Физик Ричард Фейнман называл (1977) тождество Эйлера «нашим сокровищем» и «самой замечательной формулой в математике».
• Профессор математики Стэнфордского университета Шаблон:Нп3 в своем эссе «Самое прекрасное уравнение» (2002) сказал: «Как шекспировский сонет схватывает саму суть любви, или картина раскрывает красоту человеческой формы, намного более глубокую, чем просто кожа, уравнение Эйлера проникает в самые глубины существования».
• Почётный профессор Университета Нью-Гемпшира Шаблон:Нп3 в своей книге, посвящённой формуле Эйлера и её применению в анализе Фурье, описывает тождество Эйлера как «изысканную красоту».
• По мнению популяризатора математики Констанс Рид, это тождество является «самой знаменитой формулой во всей математике».

Опрос читателей, проведённый математическим журналом The Mathematical Intelligencer в 1990 году, назвал тождество Эйлера «самой красивой теоремой в математике». В другом опросе читателей, проведённом физическим журналом PhysicsWorld в 2004 году, тождество Эйлера (вместе с уравнениями Максвелла) было названо «величайшим уравнением в истории».

Исследование мозга шестнадцати математиков показало, что «эмоциональный мозг» (в частности, медиальная орбитофронтальная кора, реагирующая на прекрасную музыку, поэзию, картины и т. д.) активировался более последовательно в случае тождества Эйлера, чем в отношении любой другой формулы.

История

Формула Эйлера, из которой сразу следует тождество Эйлера, впервые была приведена в статье английского математика Роджера Котса (помощника Ньютона) «Логометрия» (Шаблон:Lang-la), опубликованной в журнале «Философские труды Королевского общества» в 1714 году (когда Эйлеру было 7 лет), и перепечатана в книге «Гармония мер» (Шаблон:Lang-la) в 1722 году.

Эйлер опубликовал формулу Эйлера в её привычном виде в статье 1740 года во время его работы в Петербургской академии наук и в книге «Введение в анализ бесконечно малых» (Шаблон:Lang-la) (1748).

Однако, в работах Эйлера 1740 и 1748 годов не фигурирует именно тождество Эйлера (в его нынешнем классическом виде), где возможно, что он его никогда не выводил. Есть вероятность, что Эйлер мог получить информацию о формуле Эйлера через своего швейцарского соотечественника Иоганна Бернулли.

По мнению Шаблон:Нп3: Шаблон:Bquote

В культуре

• Тождеству Эйлера посвящён фильм Такаси Коидзуми «Шаблон:Нп5».