Многочлены Бернулли

Многочлены Бернулли — последовательность многочленов, возникающая при изучении многих специальных функций, в частности ζ-функции Римана и ζ-функции Гурвица; частный случай последовательности Аппеля. В отличие от ортогональных многочленов, многочлены Бернулли примечательны тем, что число корней в интервале $[0, 1]$ не увеличивается с увеличением степени многочлена. При неограниченном увеличении степени многочлены Бернулли приближаются к тригонометрическим функциям.

Названны в честь Якоба Бернулли.

Определения

Многочлены Бернулли $B_{n} (x)$ можно определить различными способами в зависимости от удобства.

Явное задание:

B_{n} (x) = \sum_{k = 0}^{n} C_{n}^{k} B_{n - k} x^{k}

,

B_{n} (x) = \sum_{m = 0}^{n} \frac{1}{m + 1} \sum_{k = 0}^{m} (- 1)^{k} C_{m}^{k} (x + k)^{n} .

Производящей функцией для многочленов Бернулли является:

\frac{t e^{x t}}{e^{t} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} (x) \frac{t^{n}}{n!} .

Можно представить многочлены Бернулли дифференциальным оператором:

B_{n} (x) = \frac{D}{e^{D} - 1} x^{n}

, где

D

Несколькими первыми многочленами Бернулли являются:

B_{0} (x) = 1,

B_{1} (x) = x - \frac{1}{2},

B_{2} (x) = x^{2} - x + \frac{1}{6},

B_{3} (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + \frac{1}{2} x,

B_{4} (x) = x^{4} - 2 x^{3} + x^{2} - \frac{1}{30},

B_{5} (x) = x^{5} - \frac{5}{2} x^{4} + \frac{5}{3} x^{3} - \frac{1}{6} x,

B_{6} (x) = x^{6} - 3 x^{5} + \frac{5}{2} x^{4} - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{42} .

Начальные значения многочленов Бернулли при $x = 0$ равны соответствующим числам Бернулли:

B_{n} (0) = B_{n}

.

Производная от производящей функции:

t^{2} e^{t x} \frac{1}{e^{t} - 1} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B'_{n} (x)}{n!} t^{n}

.

Левая часть отличается от производящей функции только множителем $t$ , поэтому:

\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B'_{n} (x)}{n!} t^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n} (x)}{n!} t^{n + 1}

.

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях $t$ :

\frac{B'_{n} (x)}{n!} = \frac{B_{n - 1} (x)}{(n - 1)!}

,

откуда:

B'_{n} (x) = n B_{n - 1} (x)

.

(Функции, удовлетворяющие подобному свойству называются последовательностью Аппеля).

Из последнего равенства следует правило интегрирования многочленов Бернулли:

B_{n} (x) = B_{n} + n \int_{0}^{x} B_{n - 1} (t) d t

.

Также бывает полезно свойство сбалансированности:

\int_{0}^{1} B_{n} (x) d x = 0

(при

n > 0

)

Теорема об умножении аргумента: если $m$ — произвольное натуральное число, то:

\sum_{n = 0}^{\infty} B_{n} (m x) \frac{t^{n}}{n!} = \frac{t e^{m x t}}{e^{t} - 1} = \frac{1}{m} e^{m x t} \frac{m t (1 + e^{t} + \dots + e^{(m - 1) t})}{e^{m t} - 1} = \frac{1}{m} \sum_{s = 0}^{m - 1} \frac{e^{(x + \frac{s}{m}) m t} m t}{e^{m t} - 1} = \frac{1}{m} \sum_{s = 0}^{m - 1} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{B_{n} (x + \frac{s}{m}) m^{n}}{n!} t^{n} .

Из построенных разложений следует теорема об умножении аргумента:

B_{n} (m x) = m^{n - 1} \sum_{s = 0}^{m - 1} B_{n} (x + \frac{s}{m})

.

Симметрия:

B_{n} (1 - x) = (- 1)^{n} B_{n} (x),

(- 1)^{n} B_{n} (- x) = B_{n} (x) + n x^{n - 1} .