Описанный многоугольник

Описанная трапеция

Описанный многоугольник, известный также как тангенциальный многоугольник — это выпуклый многоугольник, который содержит вписанную окружность. Это такая окружность, по отношению к которой каждая сторона описанного многоугольника является касательной. Шаблон:Не переведено 5 описанного многоугольника — это многоугольник, который имеет описанную окружность, проходящую через все его вершины.

Все треугольники являются описанными для какой-либо окружности, как и все правильные многоугольники с произвольным числом сторон. Хорошо изученная группа описанных многоугольников — описанные четырёхугольники, куда входят ромбы и дельтоиды.

Описания

Выпуклый многоугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда все внутренние биссектрисы его углов Шаблон:Не переведено 5 (пересекаются в одной точке) и эта общая точка пересечения является центром вписанной окружностиШаблон:Sfn.

Описанный многоугольник с n последовательными сторонами $a_1,\dots ,a_n$ существует тогда и только тогда, когда система уравнений

$x_1+x_2=a_1,x_2+x_3=a_2,\dots ,x_n+x_1=a_n$

имеет решение $(x_1,\dots ,x_n)$ в положительных вещественных числах Шаблон:Sfn. Если такое решение существует, то $x_1,\dots ,x_n$ являются касательными длинами многоугольника (длинами от вершины до точки касания на стороне).

Единственность и неединственность

Если число сторон n нечётно, то для любого заданного набора длин сторон $a_1,\dots ,a_n$, удовлетворяющих критерию выше, существует только один описанный многоугольник. Но если n чётно, существует их бесконечное числоШаблон:Sfn. Например, в случае четырёхугольника, когда все стороны равны, мы будем иметь ромб с любой величиной острого угла и все эти ромбы будут описаны вокруг какой-либо окружности.

Радиус вписанной окружности

Если длины сторон описанного многоугольника равны $a_1,\dots ,a_n$, то радиус вписанной окружности равенШаблон:Sfn.

$r=\frac{K}{s}=\frac{2K}{\sum _{i=1}^n{a}_i}$

где K — площадь многоугольника, а s — его полупериметр. (Поскольку все треугольники имеют вписанную окружность, эта формула применима ко всем треугольникам.)

Другие свойства

• Для описанного многоугольника с нечётным числом сторон все стороны равны тогда и только тогда, когда углы равны (многоугольник правильный). Описанный многоугольник с чётным числом сторон имеет все стороны равными тогда и только тогда, когда чередующиеся углы равны.
• В описанном многоугольнике с чётным числом сторон сумма длин нечётных сторон равна сумме длин чётных сторонШаблон:Sfn.
• Описанный многоугольник имеет бо́льшую площадь, чем любой другой многоугольник с тем же периметром и теми же внутренними углами в той же последовательностиШаблон:SfnШаблон:Sfn.
• Барицентр любого описанного многоугольника, барицентр его точек границы и центр вписанной окружности коллинеарны и барицентр многоугольника находится между двумя другими указанными центрами и вдвое дальше от центра вписанной окружности, чем от барицентра границыШаблон:Sfn.

Описанный треугольник

Все треугольники имеют некоторую вписанную окружность. Треугольник называется тангенциальным треугольником рассматриваемого треугольника, если все касания тангенциального треугольника окружности также являются вершинами рассматриваемого треугольника.

Описанный шестиугольник

Конкурентные главные диагонали

• В описанном шестиугольнике ABCDEF главные диагонали AD, BE и CF Шаблон:Не переведено 5 согласно теореме Брианшона.

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья