Формула половины стороны

Сферический треугольник

В сферической тригонометрии, формула половины стороны применяется для решения сферических треугольников.

Формула половины стороны

$\begin{array}{cc}\tan \left(\frac{a}{2}\right)& =R\cos (S-\alpha )\\ \tan \left(\frac{b}{2}\right)& =R\cos (S-\beta )\\ \tan \left(\frac{c}{2}\right)& =R\cos (S-\gamma )\end{array}$

где

• α, β, γ — это углы сферического треугольника,
• a, b, c — длины сторон, лежащих напротив, соответственно, углов α, β, γ,

• $S=\frac{1}{2}(\alpha +\beta +\gamma )$

полусумма углов треугольника, и

• $R=\sqrt{\frac{-\cos S}{\cos (S-\alpha )\cos (S-\beta )\cos (S-\gamma )}}.$

Интересно, что R является тангенсом радиуса описанной окружности данного сферического треугольникаШаблон:Rp. Три формулы на самом деле представляют собой одну и ту же формулу, в которой лишь заменены обозначения соответствующих углов и сторон.

Двойственная формула

Двойственными к формулам половины стороны являются формулы для половины углаШаблон:Rp:

$\begin{array}{cc}\mathrm{tg}\left(\frac{\alpha }{2}\right)& =\frac{1}{\sin (s-a)}\cdot r\\ \mathrm{tg}\left(\frac{\beta }{2}\right)& =\frac{1}{\sin (s-b)}\cdot r\\ \mathrm{tg}\left(\frac{\gamma }{2}\right)& =\frac{1}{\sin (s-c)}\cdot r\end{array}$

где

• $s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

полусумма сторон треугольника, и

• $r=\sqrt{\frac{\sin (s-a)\sin (s-b)\sin (s-c)}{\sin s}}.$

Причём в этом случае r будет тангенсом вписанной окружности сферического треугольникаШаблон:Rp.

Аналогичная формула в планиметрии известна под названием теоремы котангенсов.

Применение

Формула половины стороны применяется для решения косоугольного сферического треугольника по трём сторонам, то есть когда надо по данным сторонам вычислить каждый из его угловШаблон:Rp. Формула половины угла, в свою очередь, используется для решения косоугольного треугольника по трём углам, то есть когда надо при данных трёх углах вычислить каждую из его сторонШаблон:Rp. Если же у сферического треугольника один из углов прямой, вместо этих формул для его решения применяется более удобное мнемоническое правило Непера.

См. также

• Теоремы косинусов (сферическая геометрия)
• Тригонометрические тождества