Анализ парциальных волн

Анализ парциальных волн в контексте квантовой механики относится к методу решения задач рассеяния путём разложения каждой волны на составляющие её компоненты углового момента и построения решения с использованием граничных условий.

Предварительные сведения из теории рассеяния

Следующее описание следует каноническому способу рассмотрения элементарной теории рассеяния. Постоянный пучок частиц рассеивается на сферически-симметричном потенциале $V(r)$, который является короткодействующим, так что на больших расстояниях при $r\to \mathrm{\infty }$, частицы ведут себя как свободные частицы. В принципе, любая частица должна описываться волновым пакетом, но вместо этого мы описываем рассеяние в виде плоской волны $\exp (ikz)$ движущейся вдоль z оси, так как волновые пакеты можно разложить по плоским волнам, что упрощает вычисления. Поскольку пучок включается на времена, большие по сравнению со временем взаимодействия частиц с рассеивающим потенциалом, предполагается стационарность этой задачи. То есть следует решить стационарное уравнение Шрёдингера для волновой функции $\mathrm{\Psi }(𝐫)$ представляющий пучок частицШаблон:Sfn:

$[-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+V(r)]\mathrm{\Psi }(𝐫)=E\mathrm{\Psi }(𝐫).$

Для нахождения решения делают следующий анзац:

$\mathrm{\Psi }(𝐫)={\mathrm{\Psi }}_0(𝐫)+{\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫),$

где ${\mathrm{\Psi }}_0(𝐫)\propto \exp (ikz)$ — входящая плоская волна, а ${\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫)$ — рассеянная волна, возмущающая исходную волновую функцию.

Эта асимптотическая форма ${\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫)$ представляет интерес, поскольку наблюдения вблизи центра рассеяния (например, ядра атома) в большинстве случаев невозможны, а детектирование частиц происходит далеко от источника. На больших расстояниях частицы должны вести себя как свободные частицы, и ${\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫)$ поэтому должна быть решением свободного уравнения Шрёдингера. Это говорит о том, что она должна иметь форму, подобную плоской волне, без каких-либо физически бессмысленных вкладов. Поэтому исследуют разложение по плоским волнам, которое представляется в виде ряда:

$e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }{j}_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Здесь сферическая функция Бесселя $j_{\ell }(kr)$ асимптотически ведёт себя как

$j_{\ell }(kr)\to \frac{1}{2ikr}(\exp [i(kr-\ell \pi /2)]-\exp [-i(kr-\ell \pi /2)]).$

Это соответствует исходящей и приходящей сферической волне. Для рассеянной волновой функции ожидаются только исходящие части. Поэтому ожидается, что ${\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫)\propto \exp (ikr)/r$ на больших расстояниях и предполагается асимптотическая форма рассеянной волны равнаяШаблон:Sfn

${\mathrm{\Psi }}_{\text{s}}(𝐫)\to f(\theta ,k)\frac{\exp (ikr)}{r},$

где $f(\theta ,k)$ — так называемая амплитуда рассеяния, которая в данном случае зависит только от угла $\theta$ и энергии.

В заключение это приводит к следующему асимптотическому выражению для всей волновой функции:

$\mathrm{\Psi }(𝐫)\to {\mathrm{\Psi }}^{(+)}(𝐫)=\exp (ikz)+f(\theta ,k)\frac{\exp (ikr)}{r}.$

Разложение по парциальным волнам

В случае сферически-симметричного потенциала $V(𝐫)=V(r)$, волновая функция рассеянной волны может быть разложена по сферическим гармоникам, которые сводятся к полиномам Лежандра из-за азимутальной симметрии (отсутствие зависимости от $\varphi$):

$\mathrm{\Psi }(𝐫)=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}\frac{u_{\ell }(r)}{r}{P}_{\ell }(\cos \theta ).$

В стандартной задаче рассеяния предполагается, что падающий пучок принимает форму плоской волны с волновым числом Шаблон:Mvar, которую можно разложить по парциальным волнам, используя разложение по плоским волнам с использованием сферических функций Бесселя и полиномов Лежандра:

${\psi }_{\text{in}}(𝐫)=e^{ikz}=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }{j}_{\ell }(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Здесь используется сферическая система координат, в которой Шаблон:Mvar ось совмещена с направлением пучка. Радиальная часть этой волновой функции состоит исключительно из сферической функции Бесселя, которую можно переписать как сумму двух сферических функций Ганкеля:

$j_{\ell }(kr)=\frac{1}{2}(h_{\ell }^{(1)}(kr)+h_{\ell }^{(2)}(kr)).$

Можно раскрыть физический смысл: Шаблон:Math асимптотически (то есть при больших Шаблон:Mvar) ведёт себя как Шаблон:Math и, таким образом, является исходящей волной, тогда как Шаблон:Math асимптотически ведёт себя как Шаблон:Math и, таким образом, является приходящей волной. На приходящую волну рассеяние не влияет, в то время как исходящая волна модифицируется фактором, известным как элемент S-матрицы для парциальной волны Шаблон:Math:

$\frac{u_{\ell }(r)}{r}\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{i^{\ell }k}{\sqrt{2\pi }}(h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }{h}_{\ell }^{(2)}(kr)),$

где Шаблон:Math — радиальная составляющая фактической волновой функции. Фазовый сдвиг Шаблон:Math определяется как половина фазы Шаблон:Math:

$S_{\ell }=e^{2i{\delta }_{\ell }}.$

Если поток сохраняется, то Шаблон:Math, и, таким образом, фазовый сдвиг вещественен. Обычно это так, если потенциал не имеет мнимой поглощающей составляющей, которая часто используется в феноменологических моделях для имитации потерь, например, из-за других каналов реакции.

Следовательно, полная асимптотическая волновая функция равна

$\psi (𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }\frac{h_{\ell }^{(1)}(kr)+S_{\ell }{h}_{\ell }^{(2)}(kr)}{2}{P}_{\ell }(\cos \theta ).$

Вычитание Шаблон:Math даёт асимптотическую исходящую волновую функцию:

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)i^{\ell }\frac{S_{\ell }-1}{2}{h}_{\ell }^{(2)}(kr)P_{\ell }(\cos \theta ).$

Используя асимптотику сферических функций Ганкеля, получается

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{e^{ikr}}{r}\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{S_{\ell }-1}{2ik}{P}_{\ell }(\cos \theta ).$

Поскольку амплитуда рассеяния Шаблон:Math определяется из

${\psi }_{\text{out}}(𝐫)\stackrel{r\to \mathrm{\infty }}{⟶}\frac{e^{ikr}}{r}f(\theta ,k),$

следует, чтоШаблон:Sfn

$f(\theta ,k)=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{S_{\ell }-1}{2ik}{P}_{\ell }(\cos \theta )=\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)\frac{e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }}{k}{P}_{\ell }(\cos \theta ),$

и, таким образом, дифференциальное сечение рассеяния определяется выражением

$\frac{d\sigma }{d\mathrm{\Omega }}=|f(\theta ,k){|}^2=\frac{1}{k^2}{|\sum _{\ell =0}^{\mathrm{\infty }}(2\ell +1)e^{i{\delta }_{\ell }}\sin {\delta }_{\ell }{P}_{\ell }(\cos \theta )|}^2.$

Эта можель работает для любого короткодействующего взаимодействия. Для дальнодействующих взаимодействий (таких как кулоновское взаимодействие) сумма по Шаблон:Mvar может расходиться. Общий подход для таких задач состоит в том, чтобы рассматривать кулоновское взаимодействие отдельно от короткодействующего взаимодействия, так как кулоновская проблема может быть решена точно в терминах кулоновских функций, которые играют роль функций Ганкеля в этой задаче.

Литература

• Шаблон:Cite book
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Парциальные волны для чайников
• Анализ рассеяния с помощью парциальных волн