Бесконечная система линейных алгебраических уравнений

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений — обобщение понятия системы линейных алгебраических уравнений на случай бесконечного множества неизвестных, определённое методами функционального анализа. Оно имеет смысл не над любым полем, а, например, над вещественными и комплексными числами. Также возможно прямолинейное обобщение методами собственно линейной алгебры, отличное от описанного в статье.

Бесконечная система линейных алгебраических уравнений часто появляется в процессе решения разнообразных задач в физике и технике методом неопределённых коэффициентов, например в задачах теплопроводности, определения перигелия движения Луны в астрономии, в задаче определения статического прогиба прямоугольного тела с закреплёнными концами.Шаблон:Sfn

Определение

Бесконечной системой линейных алгебраических уравнений называется бесконечное множество алгебраических уравнений первой степени относительно бесконечного множества неизвестных: $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ik}{x}_k=b_i$, $i=1,2,...$. Решением бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется всякая последовательность чисел $\left\{x_k\right\}$, такая, что все ряды $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_{ik}{x}_k$, $i=1,2,...$ являются сходящимися к $b_i$. Решение $\left\{x_k\right\}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений называется ограниченным, если числа $x_k$ образуют ограниченную последовательность.

Удобно рассматривать бесконечные системы линейных алгебраических уравнений в виде: $x_i-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_{ik}{x}_k=b_i$, $i=1,2,...$, $c_{ik}=-a_{ik}+{\delta }_{ik}$. Бесконечная система линейных алгебраических уравнений называется вполне регулярной, если существует такая положительная постоянная $q<1$, что $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\left|c_{ik}\right|⩽q$.

Вполне регулярная бесконечная система линейных алгебраических уравнений имеет единственное ограниченное решение $\left\{x_i\right\}$ при любой ограниченной совокупности свободных членов $b_i$. При этом, если $b_i⩽B$ для всех $i=1,2,...$, то $\left|x_i\right|⩽\frac{B}{1-q}$.Шаблон:Sfn

Бесконечный определитель

В матрице коэффициентов бесконечной линейной системы уравнений можно оставить лишь первые $n$ строк и $n$ столбцов и составить из них квадратную матрицу размером $n\times n$:

$A(n)=\left|\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right|$

Обозначим определитель этой матрицы как $\mathrm{\Delta }(n)=det(A(n))$.

Если существует предел: $\mathrm{\Delta }=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{\Delta }(n)$, то он называется бесконечным определителем, соответствующим матрице $a_{ij}$Шаблон:Sfn.

Достаточное условие существования

Представим матрицу $a_{ij}$ в новом виде, выделив из её всех диагональных членов слагаемое, равное единице:

$a_{ij}=\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots \\ a_{21}& a_{22}& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}{c}_{11}+1& c_{12}& \cdots \\ c_{21}& c_{22}+1& \cdots \\ \cdots & \cdots & \cdots \end{array}\right|$

Для того, чтобы бесконечный определитель матрицы $a_{ij}$ существовал и обладал свойствами, аналогичными свойствам обычного определителя, достаточно, чтобы бесконечный двойной ряд $\sum _{i,k=1}^{\mathrm{\infty }}|c_{ik}|$ сходился.Шаблон:Sfn

Решение бесконечной системы линейных алгебраических уравнений

Если у матрицы $a_{ij}$ бесконечной системы линейных алгебраических уравнений существует и не равен нулю бесконечный определитель и все её свободные члены ограничены по модулю (то есть существует положительное число $M_1$, такое, что $|b_k|<M_1,\mathrm{\forall }k$), то эта система имеет единственное ограниченное решение (то есть существует положительное число $M_2$, такое, что $|x_k|<M_2,\mathrm{\forall }k$), определяемое по формулам Крамера:

$x_k=\frac{{\mathrm{\Delta }}_k}{\mathrm{\Delta }}$,

где ${\mathrm{\Delta }}_k$ — определитель, который получается из определителя $\mathrm{\Delta }$ заменой элементов k-го столбца свободными членами.Шаблон:Sfn

См. также

• Система линейных алгебраических уравнений

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга